[論文レビュー] Lagrangian theory for perfect fluids

Sawa Manoff|ArXiv.org|Mar 4, 2003

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 7被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、共変微分を用いたラグランジアン法（MLCD）を用いて、完全流体の力学を再定式化し、オイラー＝ラグランジュ方程式がナビエ＝ストークス方程式を導くことを示している。完全流体のオイラー方程式は、特別な場合としてその中に含まれる。主な貢献は、適切な時間パラメータの再パrametrization条件を導入することで、従来の制約を課さずに変分原理を用いて流体方程式を導出できることを示したことである。

ABSTRACT

The theory of perfect fluids is reconsidered from the point of view of a covariant Lagrangian theory. It has been shown that the Euler-Lagrange equations for a perfect fluid could be found in spaces with affine connections and metrics from an unconstrained variational principle by the use of the method of Lagrangians with covariant derivatives (MLCD) and additional conditions for reparametrizations of the proper time of the mass elements (particles) of the perfect fluid. The last conditions are not related to the variational principle and are not considered as constraints used in the process of variations. The application of the whole structure of a Lagrangian theory with an appropriate choice of Lagrangian invariant as the pressure of the fluid shows that the Euler-Lagrange equations with their corresponding energy-momentum tensors lead to Navier-Stokes' equation identical with the Euler equation for a perfect fluid in a space with one affine connection and metrics. The Navier-Stokes equations appear as higher order equations with respect to the Euler-Lagrange equations.

研究の動機と目的

• 制約のない変分原理を用いて、共変ラグランジアン枠組みの中で完全流体力学を再表現すること。
• 完全流体理論が、従来の偏微分を用いた手法では不可能とされてきた制約のない変分原理から導けるかどうかという長年の問題を解決すること。
• ラグランジアンに共変微分を用いる手法（MLCD）が、適切な時間パラメータの再パラメータ化条件を組み込むことで、このような導出を可能にすることを示すこと。
• アフィン接続と計量を持つ空間において、ナビエ＝ストークス方程式、および完全流体のオイラー方程式が、この形式から自然に導かれることが示されること。
• 時間の固有時間の役割とその変換性が流体力学に与える影響を明確にすることにより、より深い物理的意味が示唆されること。

提案手法

• 曲がった時空とアフィン接続・計量を持つ空間で、場の変動を扱うために、従来の偏微分を用いる手法（MLPD）の代わりに、共変微分を用いるラグランジアン手法（MLCD）を用いる。
• ラグランジアン不変量として圧力 $ p $ を用い、ラグランジアン密度を $ \mathbf{L} = \sqrt{-\det g} \cdot p $ と定義する。ここで $ g $ は計量テンソルである。
• ラグランジアンに対して制約のない変分原理を適用し、流体の速度場と計量を独立変数として扱う。
• 流体要素の固有時間の再パラメータ化のための追加条件を導入する。これらは変分的制約ではなく、力学に影響を与える変換則である。
• すべての場のリー変動を用いてエネルギー運動量テンソルを導出し、保存則との整合性を保証する。
• 計量を共形変換 $ \widetilde{g} = \overline{\alpha}^2 \cdot g $ で変換することで、$ (L_n, g) $-空間における一般化されたオイラー方程式の形に変換する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全流体理論は、共変ラグランジアン形式を用いた制約のない変分原理から導けるか？
• RQ2 共変微分を用いるラグランジアン手法（MLCD）を用いることで、場変数に制約を課さずにナビエ＝ストークス方程式およびオイラー方程式を導出できるか？
• RQ3 固有時間の再パラメータ化が、完全流体のラグランジアン形式において果たす役割は何か？ また、変分原理にどのように影響を与えるか？
• RQ4 アフィン接続と計量を持つ $ (L_n, g) $-空間において、ナビエ＝ストークス方程式およびオイラー方程式の構造にどのような影響を与えるか？
• RQ5 この形式において、完全流体のオイラー方程式は、ナビエ＝ストークス方程式の特別な場合として回復可能か？

主な発見

• MLCDと制約のない変分原理を用いて導かれたオイラー＝ラグランジュ方程式は、アフィン接続と計量を持つ空間における完全流体のナビエ＝ストークス方程式を再現する。
• 計量がアフィン接続と整合的である場合（$ \nabla_u g = 0 $）かつ $ a_0 = \frac{1}{2} \varepsilon $（$ \varepsilon = \mp 1 $）のとき、完全流体のオイラー方程式がナビエ＝ストークス方程式の特別な場合として現れる。
• ナビエ＝ストークス方程式がオイラー＝ラグランジュ方程式に対して高次の関係にあることが示され、より深い力学的構造が示唆される。
• 共形計量 $ \widetilde{g} = \overline{\alpha}^2 \cdot g $ を用いることで、一般化されたオイラー方程式の形 $ \overline{a} = -\frac{1}{2a_0\rho} \widetilde{\overline{g}}(Krp) - h^{\overline{u}}[(\nabla_{\overline{u}}g)(\overline{u})] $ が得られ、これは $ U_n $-空間および $ V_n $-空間では標準形に簡略化される。
• 固有時間の再パラメータ化条件は変分的制約ではなく、ラグランジアン形式の構造を保つための変換則である。
• 本稿は、固有時間を適切に取り扱えば、完全流体力学が制約のない変分原理から一貫して導出可能であると結論づける。これは、従来の「不可能」とされていた仮定に反するものである。