[論文レビュー] Lagrangian theory of structure formation in pressure-supported cosmological fluids

Susanne Adler, Thomas Buchert|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 1998

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 1被引用数 20

ひとこと要約

この論文は、密度に依存する圧力を持つ等方的圧力を有する流体に、Zel'dovichの宇宙構造形成のラグランジュ近似を拡張する。非線形構造形成のためのラグランジュ流体動力学フレームワークを導出し、圧力は密度に依存する。既知のオイラー線形解から一次非線形解を生成するための構成則を導入し、圧力力も含めた広義の接着近似を一般化し、弱い非線形領域における多流体ダイナミクスのモデル化を可能にする。

ABSTRACT

The Lagrangian theory of structure formation in cosmological fluids, restricted to the matter model ``dust'', provides successful models of large-scale structure in the Universe in the laminar regime, i.e., where the fluid flow is single-streamed and ``dust''-shells are smooth. Beyond the epoch of shell-crossing a qualitatively different behavior is expected, since in general anisotropic stresses powered by multi-stream forces arise in collisionless matter. In this paper we provide the basic framework for the modeling of pressure-supported fluids, thus restricting attention to isotropic stresses and to the cases where pressure can be given as a function of the density. We derive the governing set of Lagrangian evolution equations and study the resulting system using Lagrangian perturbation theory. We discuss the first-order equations and compare them to the Eulerian theory of gravitational instability, as well as to the case of plane-symmetric collapse. We obtain a construction rule that allows to derive first-order solutions of the Lagrangian theory from known first-order solutions of the Eulerian theory and so extend Zel'dovich's extrapolation idea into the multi-streamed regime. These solutions can be used to generalize current structure formation models in the spirit of the ``adhesion approximation''.

研究の動機と目的

• 密度に依存する圧力を持つ宇宙流体における構造形成のラグランジュフレームワークを構築し、ダストモデルを超えて一般化すること。
• 密度に依存する圧力項を用いて、衝突しない系における多流体力の効果を現象論的にモデル化すること。
• ラグランジュ形式に圧力力を組み込んだことで、弱い非線形クラスタリングにおける接着近似を一般化すること。
• 既知のオイラー線形解から一次非線形解を体系的に構成する方法を確立すること。
• ラグランジュ摂動理論を用いて、多流体領域における曲率面の形成と階層的構造成長をモデル化する基盤を提供すること。

提案手法

• 等方的応力と密度に依存する圧力関数 $ p = \alpha(\varrho) $ を持つ圧力支持流体のラグランジュ運動方程式の完全な集合を導出する。
• ラグランジュ摂動理論を適用して方程式を線形化し、密度対比 $ \delta $ に対する波動型方程式を導出し、修正された有効音速 $ c_s $ を持つ。
• 構成則を確立：既知のオイラー線形解 $ \delta^\ell(\@vec{q},t) $ を $ \@vec{q} \mapsto \@vec{X} $ による写像によりラグランジュ解 $ P_i^L(\@vec{X},t) $ に変換し、方程式の構造を保存する。
• 関係式 $ \alpha' = c_s^2 $ を用いて圧力項を音速で表現し、線形化領域における流体力学的類似性を可能にする。
• 線形化された運動方程式の3通りの同等な表現を導出：ラグランジュ座標系における変位場 $ \@vec{P}^L $ の方程式、平面対称収縮のための式、およびオイラー共動座標系における $ \delta $ の方程式。
• 時間微分作用素の変換 $ \frac{d}{dt}\big|_{\@vec{X}} \leftrightarrow \frac{\partial}{\partial t}\big|_{\@vec{q}} $ の下で、ラグランジュ線形理論とオイラー線形理論が等価であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 宇宙流体における等方的圧力力を含むラグランジュ理論の構造形成理論をどのように一般化できるか？
• RQ2 圧力支持流体の線形化ラグランジュ方程式と、標準的な重力不安定性のオイラー理論との関係は何か？
• RQ3 ラグランジュフレームワークにおける一次非線形解を、既知のオイラー線形解から体系的に構成できるか？
• RQ4 密度に依存する圧力項の導入が、曲率面の形成および多流体流れのダイナミクスに与える影響は何か？
• RQ5 ラグランジュ流体動力学モデルを用いて、圧力力を組み込んだことで、接着近似をどの程度一般化できるか？

主な発見

• 縦方向変位 $ \@vec{P}^L $ の線形化ラグランジュ運動方程式は $ \ddot{\@vec{P}}^{L} + 2\frac{\dot{a}}{a}\dot{\@vec{P}}^{L} - 4\pi G\varrho_{\mathrm{H}}\@vec{P}}^{L} = \frac{\alpha'}{a^2}\@vec{\Delta}_{\@vec{0}}\@vec{P}}^{L} $ で与えられ、Zel'dovich近似に圧力を含めた一般化である。
• オイラー線形理論における密度対比 $ \delta $ は $ \frac{\partial^2}{\partial t^2}\big|_{\@vec{q}}\delta + 2\frac{\dot{a}}{a}\frac{\partial}{\partial t}\big|_{\@vec{q}}\delta - 4\pi G\varrho_{\mathrm{H}}\delta = \left(\frac{c_s}{a}\right)^2\Delta_{\@vec{q}}\delta $ を満たし、$ c_s^2 = \alpha' $ である。
• 構成則が確立された：既知のオイラー線形解 $ \delta^\ell(\@vec{q},t) $ を $ \@vec{q} \mapsto \@vec{X} $ によりラグランジュ解 $ P_i^L(\@vec{X},t) $ に写像可能であり、接着近似の非線形拡張が可能になる。
• 特別な状態方程式 $ p = \frac{c_1}{\varrho} + c_2 $ の場合、圧力項は変位場に対して線形のままであり、線形化方程式の構造が保たれる。
• 平面対称収縮方程式 $ \ddot{P}_1 + 2\frac{\dot{a}}{a}\dot{P}_1 - 4\pi G\varrho_{\mathrm{H}}P_1 = \frac{\alpha'}{a^2(1+P_{1|1})^2}P_{1|11} $ は、1次元収縮でも圧力が非線形性を導入することを示している。
• 時間微分作用素の変換の下でラグランジュとオイラー線形理論が等価であることを示し、フレームワークの整合性を確認するとともに、既存のオイラー解を非線形ラグランジュモデルの構築要素として利用可能にする。