[論文レビュー] Lagrangians with linear velocities within Riemann-Liouville fractional derivatives

Dumitru Bǎleanu, T. Avkar|arXiv (Cornell University)|May 4, 2004

Fractional Differential Equations Solutions被引用数 137

ひとこと要約

この論文は、左および右のリーマン・リオウヴィル分数階微分を用いて、速度に関して線形なラグランジアンのための分数階オイラー＝ラグランジュ方程式を定式化する。2つの例—第一および第二級の制約系—について正確な解を導出し、α → 1 の極限で古典的力学が回復されることを示し、第一のケースではゲージに類似た不変性が明らかになる。

ABSTRACT

Lagrangians linear in velocities were analyzed using the fractional calculus and the Euler-Lagrange equations were derived. Two examples were investigated in details, the explicit solutions of Euler-Lagrange equations were obtained and the recovery of the classical results was discussed.

研究の動機と目的

• リーマン・リオウヴィル分数階微分を用いて、速度に関して線形なラグランジアンに対する分数階変分法の拡張を図ること。
• 両方の左および右微分を含む分数階オイラー＝ラグランジュ方程式を導出し、それらを解くこと。
• 分数階方程式が α → 1 の極限で古典的力学の結果を回復するかどうかを調査すること。
• 境界条件および分数階微分が系の力学的挙動に与える影響を分析すること。
• 分数階制約系におけるゲージに類似た不変性および構造的性質を探索すること。

提案手法

• 形式的枠組みは、ラグランジアン関数に左および右のリーマン・リオウヴィル分数階微分（次数 α および β）を含む。
• 変分原理を用いて、運動方程式に両方の左および右微分を組み込んだ分数階オイラー＝ラグランジュ方程式を導出する。
• ラグランジアンは速度に関して線形であり、一般形 $ L = a_j(q^i)\dot{q}^j - V(q^i) $ とし、分数階微分に一般化される。
• 最初の例では、ラグランジアンが $ L = ({}_{a}D_{t}^{eta}q^{1})q^{2} - (q^{1}-q^{2})q^{3} $ であり、これにより結合された分数階微分方程式が得られる。
• 2番目の例では、第二級の制約系が $ L' = -[({}_{t}D_{b}^{eta}q^{1})q^{2} + ({}_{t}D_{b}^{eta}q^{3})q^{4} + V(q^{2},q^{3},q^{4})] $ でモデル化され、$ V = -\frac{1}{2}[(q^{4})^{2} - 2q^{2}q^{3}] $ である。
• 解は分数階積分表現およびリーマン・リオウヴィル微分の性質、特にべき関数則 $ {}_{a}D_{t}^{p}(t-a)^{\nu} = \frac{\Gamma(\nu+1)}{\Gamma(-p+\nu+1)}(t-a)^{\nu-p} $ を用いて得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン・リオウヴィル分数階微分の枠組み内で、速度に関して線形なラグランジアンを一貫的に一般化する方法は何か？
• RQ2 左および右のリーマン・リオウヴィル微分が両方含まれる場合、分数階オイラー＝ラグランジュ方程式の構造はどのようなものか？
• RQ3 制約付き系に対する分数階方程式は、α → 1 の極限で古典的力学の結果に還元されるか？
• RQ4 線形速度ラグランジアンの分数階力学に、ゲージに類似た対称性が存在するか？
• RQ5 境界条件および分数階の次数 α は、系の解空間にどのように影響するか？

主な発見

• 速度に関して線形なラグランジアンのための分数階オイラー＝ラグランジュ方程式は、ラグランジアンに片方の微分しか含まない場合でも、左および右のリーマン・リオウヴィル微分を含む。
• 最初の例では、解 $ q^1 = q^2 $ および $ q^3 = (-{}_{a}D_{t}^{eta} + {}_{t}D_{b}^{eta})q^1 $ は、α → 1 の極限で古典的結果を回復する。
• 2番目の例である第二級の制約系では、明示的な解が得られる：$ q^2(t) = C_1(t-a)^{\alpha-1} $、$ q^4(t) $ はべき関数の二重積分を含み、$ q^3(t) $ および $ q^1(t) $ は高階の分数階積分で表現される。
• α → 1、a → 0、b → 1 の極限で、解は標準的な多項式形に還元される：$ q^1(t) = C_4't^3/6 - C_3't^2/2 + C_2't + C_1' $ などであり、古典的力学と整合することが確認される。
• 最初の例では、ある種の従属変数の変換に対して方程式が不変である、ゲージに類似た不変性が観察される。
• 解は、統合の範囲 a および b、および分数階の次数 α に明示的に依存しており、分数階微分に内在する非局所的力学が示唆される。