[論文レビュー] Laguerre Geometry of Hypersurfaces in $\R^n$

Tongzhu Li, Changping Wang|ArXiv.org|Jun 14, 2006

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、n ≥ 4 における ℝⁿ 内の超曲面に対して完全なラゲール微分幾何学枠組みを構築し、ラゲール不変計量 g および自己随伴作用素 ℒ を導入して完全な不変系を構成する。ラゲール空間形式 Uℝⁿ、Uℝⁿ₁、Uℝⁿ₀ を用いて統一的な理論を確立し、ℝ³₁ または ℝ³₀ 内の最小曲面が ℝ³ 内でラゲール最小であることを証明する。

ABSTRACT

Laguerre geometry of surfaces in $\R^3$ is given in the book of Blaschke [1], and have been studied by E.Musso and L.Nicolodi [5], [6], [7], B. Palmer [8] and other authors. In this paper we study Laguerre differential geometry of hypersurfaces in $\R^n$. For any umbilical free hypersurface $x: M o\R^n$ with non-zero principal curvatures we define a Laguerre invariant metric $g$ on $M$ and a Laguerre invariant self-adjoint operator ${\mathbb S}: TM o TM$, and show that $\{g,{\mathbb S}\}$ is a complete Laguerre invariant system for hypersurfaces in $\R^n$ with $n\ge 4$. We calculate the Euler-Lagrange equation for the Laguerre volume functional of Laguerre metric by using Laguerre invariants. Using the Euclidean space $\R^n$, the Lorentzian space $\R^n_1$ and the degenerate space $\R^n_0$ we define three Laguerre space forms $U\R^n$, $U\R^n_1$ and $U\R^n_0$ and define the Laguerre embedding $ U\R^n_1 o U\R^n$ and $U\R^n_0 o U\R^n$, analogue to the Moebius geometry where we have Moebius space forms $S^n$, $\H^n$ and $\R^n$ (spaces of constant curvature) and conformal embedding $\H^n o S^n$ and $\R^n o S^n$ (cf. [4], [10]). Using these Laguerre embedding we can unify the Laguerre geometry of hypersurfaces in $\R^n$, $\R^n_1$ and $\R^n_0$. As an example we show that minimal surfaces in $\R^3_1$ or $\R_0^3$ are Laguerre minimal in $\R^3$.

研究の動機と目的

• ℝ³ 内の曲面に限らないラゲール微分幾何学を n ≥ 4 における ℝⁿ 内の超曲面へ拡張すること。
• 非零の主曲率をもつ umbilical 無しの超曲面に対して、完全なラゲール不変量系 (g, ℒ) を定義すること。
• 埋め込み空間形式を用いて、ユークリッド的、ローレンツ的、退化空間におけるラゲール幾何学を統一すること。
• 不変量を用いてラゲール体積関数のオイラー＝ラグランジュ方程式を導出すること。
• 平均曲率半径 r の III 形式ラプラシアンの消滅を用いて、ラゲール最小超曲面の特徴づけを確立すること。

提案手法

• 第3基本形式および曲率半径を用いて、ℝⁿ 内の超曲面にラゲール不変計量 g および自己随伴作用素 ℒ を定義する。
• ℝⁿ、ℝⁿ₁、ℝⁿ₀ をそれぞれ基にした、3 つのラゲール空間形式 Uℝⁿ、Uℝⁿ₁、Uℝⁿ₀ を、単位接束を用いて構成する。
• 異なる環境空間間の幾何学を関連付けるために、埋め込み σ: Uℝⁿ₁ → Uℝⁿ および τ: Uℝⁿ₀ → Uℝⁿ を定義する。
• ローレンツ群 O(n+1,2)/{±1} を用いて、これらの空間形式に作用するラゲール変換群を定義する。
• ラゲール計量を g = ρ²III と表現する。ここで ρ² = ∑(rᵢ − r)² であり、III は第3基本形式である。
• Δ₃₃r および曲率不変量の解析を通じて、ラゲール体積関数のオイラー＝ラグランジュ方程式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n ≥ 4 における ℝⁿ 内の超曲面に対して、完全なラゲール不変量系とは何か？
• RQ2 空間形式および埋め込みを用いて、ℝⁿ、ℝⁿ₁、ℝⁿ₀ 間でラゲール幾何学をどのように統一できるか？
• RQ3 曲率不変量の観点から、ラゲール最小超曲面はどのように特徴づけられるか？
• RQ4 ℝ³₁ または ℝ³₀ 内の最小曲面が、どのような条件下で ℝ³ 内でラゲール最小曲面を誘導するか？
• RQ5 異なる空間形式間の埋め込み σ および τ によるラゲール不変量の変換則は何か？

主な発見

• n ≥ 4 における ℝⁿ 内の超曲面に対して、{g, ℒ} の組み合わせが完全なラゲール不変系を形成する。
• ラゲール体積関数のオイラー＝ラグランジュ方程式は Δ₃₃r = 0 として導出され、ここで r は平均曲率半径である。
• ℝ³₁ または ℝ³₀ 内の最小曲面は、Δ₃₃r の消滅により ℝ³ 内でラゲール最小であることが示された。
• ℝ³ 内で唯一のコンパクトなラゲール最小曲面は、r と x + rξ の定数性により証明された球面である。
• ラゲール埋め込み σ および τ は不変量 Y と η を保存するため、ℝⁿ、ℝⁿ₁、ℝⁿ₀ 間で幾何的構造の一貫性が保たれる。
• 不変量は <Y, c> = ρ および <η, c> = r を満たす。ここで c は、環境空間に応じて時間的、空間的、または光的ベクトルである。