[論文レビュー] Lambda Words: A Class of Rich Words Defined Over an Infinite Alphabet

Norman Carey|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2013

semigroups and automata theory参考文献 31被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、1 < θ < 2 および非負整数 i, j に対して形式 i + jθ の順序付き要素の差分から導かれる無限アルファベット上の右無限列であるラムダ語を導入する。ラムダ語がリッチ（つまり、長さに対して可能な限り多くの異なる回文的因子を含む）であることを証明し、3文字アルファベットへの射影が回文を保存するが、その結果得られるガンマ語はリッチでないことを示しており、構造的性質における重要な相違を浮き彫りにしている。

ABSTRACT

Lambda words are sequences obtained by encoding the differences between ordered elements of the form i+jθ, where i and j are non-negative integers and 1 &lt; θ&lt;2. Lambda words are right-infinite words defined over an infinite alphabet that have connections with Sturmian words, Christoffel words, and interspersion arrays. We show that Lambda words are infinite rich words. Furthermore, any Lambda word may be mapped onto a right-infinite word over a three-letter alphabet. Although the mapping preserves palindromes and non-palindromes of the Lambda word, the resulting Gamma word is not rich.

研究の動機と目的

• ラムダ語—無限アルファベット上で定義された無限列のクラスを形式化し分析すること。このラムダ語は、{i + jθ | i,j ∈ ℕ₀} の順序付き集合の差分に基づく。
• ラムダ語がリッチ語であることを確立すること。すなわち、その長さに対して可能な限り多くの異なる回文的因子を含むこと。
• ラムダ語の構造的性質を調査すること。特に、連分数と収束分数が文字の頻度を決定する役割を明らかにすること。
• ラムダ語から3文字アルファベット {0,1,2} への射影写像 γ の挙動を検討すること。この写像は回文的および非回文的構造を保存する。
• ラムダ語のリッチ性とその射影されたガンマ語の非リッチ性との間の相違を明確にすること。

提案手法

• S_θ を、i,j ∈ ℕ₀ に対する i + jθ の値の厳密に増加する列と定義し、その1階差分列 ΔS_θ を計算する。
• ΔS_θ 内の異なる差分を非負整数に一対一対応させる写像 λ を適用し、ラムダ語 Λ_θ を構成する。
• θ の連分数収束分数を用いて、Λ_θ 内の各文字の頻度を計算し、数論的性質と語の構造との関連を確立する。
• Hurwitz鎖と収束分数に基づく再帰的関係を用いて、Λ_θ から3文字アルファベット {0,1,2} への射影 γ を構成する。
• γ|A - Bθ| = 3 - (γ|a_k - b_kθ| + γ|(A - a_k) - (B - b_k)θ|) を定義し、{0,1,2} 上の well-defined な語 Γ_θ が得られることを保証する。
• Λ_θ 内の回文および非回文が Γ_θ に保存されることを検証するが、Γ_θ がリッチでないことを示すために、非リッチな6文字因子 012120 が Γ_φ 内に存在することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラムダ語—i + jθ の差分から定義される無限アルファベット上での無限列—は、可能な限り多くの異なる回文的因子を含むという意味でリッチ語と呼べるか？
• RQ2 θ の連分数収束分数は、Λ_θ 内の各文字の頻度をどのように決定するか？
• RQ3 Λ_θ から3文字アルファベットへの射影 γ は回文的構造を保存するか？ もしそうなら、その結果得られるガンマ語にどのような意味があるか？
• RQ4 Λ_θ から引き継いだ回文および非回文の構造を保存しているにもかかわらず、なぜガンマ語 Γ_θ はリッチでないのか？
• RQ5 Hurwitz鎖と収束分数のペアは、写像 γ の再帰的定義において果たす役割は何か？

主な発見

• ラムダ語がリッチであることが証明された。これは、その長さに対して可能な限り多くの異なる回文的因子を含むことを意味する。
• Λ_θ 内の各文字の頻度は、θ の連分数展開の収束分数によって決定され、第5節で明示的な公式が導出された。
• Λ_θ 内の回文は、高々3種類の異なる文字に制限される。これは、i + jθ の値の順序付けに基づく構造的制約に起因する。
• 射影 γ は Λ_θ を {0,1,2} 上の右無限語 Γ_θ に写像する。このとき、回文および非回文の構造が保存される。
• この保存にもかかわらず、Γ_θ はリッチ語でない。これは、Γ_φ 内に非リッチな6文字因子 012120 が存在することによって示された。
• θ = φ = (√5 + 1)/2 の場合、γ|A - Bφ| は周期的に 3 を法として k+1 mod 3 に従って循環し、射影における規則的なパターンを示している。