[論文レビュー] Lanczos - Einstein - Petiau: From Dirac's equation to nonlinear wave mechanics

André Gsponer, Jean-Pierre Hurni|ArXiv.org|Aug 4, 2005

Quantum and Classical Electrodynamics参考文献 44被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、クaternionに基づくディラック方程式の導出と、ランツォスの基本場方程式を用いた非線形波動力学への一般化を提示し、スピン1/2粒子が自然にアイソスピン二重項（例：陽子/中性子、電子/ニュートリノ）を形成することを示している。これはディラック理論とプロカの質量のあるベクトル場理論を統一し、質量項を時空に依存する関数とする非線形拡張を提案する。これにより、基本的な長さスケールが導かれ、クォークの数が5つ、レプトンの数が3つに制限される。

ABSTRACT

In 1929 Lanczos showed how to derive Dirac's equation from a more fundamental system that predicted that spin 1/2 particles should come in pairs. Today, these pairs can unambiguously be interpreted as isospin doublets. From the same fundamental equation, Lanczos derived also the correct form of the wave equation of massive spin 1 particles that would be rediscovered in 1936 by Proca. Lanczos's fundamental system was put in Lagrangian form and generalized in 1933 by Einstein and Mayer, who used the semivector instead of the quaternion formalism. Although they not did study all possible solutions, Einstein and Mayer showed that the doublets consisted of particles with different mass and charge. In fact, there are two main classes of doublets: proton/neutron and electron/neutrino pairs.

研究の動機と目的

• より基本的なクォaternion的場理論からディラック方程式を再導出することにより、それがより深い幾何学的・代数的構造の結果であることを示すこと。
• ランツォスの基本方程式が、質量と電荷が異なる陽子/中性子、電子/ニュートリノなどのアイソスピン二重項を自然に予測することを示すこと。
• ランツォスとペティオーの独立的洞察にインspiredして、質量項を時空に依存する関数とするようにすることで、理論を非線形波動力学に一般化すること。
• 基本的長さスケール αre（re は古典的電子半径）を仮定することで、標準模型におけるクォークと質量のあるレプトンの数がそれぞれ5つと3つに制限されることを示すこと。
• バイクォaternionとクリフォード代数を用いて、相対論的量子力学と場の理論を1つの枠組みで統一し、電子場の古典的構造に焦点を当てること。

提案手法

• バイクォaternion（D ∈ ℂ⊕ℍ）を用いて4成分スピン場を表現し、1929年のランツォスのクォaternion的場方程式からディラック方程式を導出する。
• ランツォスの基本方程式 ∇̄D = mD*iν を用いて、ディラック方程式とスピン1の質量のある粒子に対するプロカ方程式の両方を導出する。
• アインシュタイン＝メイヤー＝ランツォスのラグランジアン形式を適用し、陽子/中性子および電子/ニュートリノの二重項を1つの場理論的枠組みで統一する。
• ランツォスとペティオーの業績にインspiredして、波動方程式における質量項を時空に依存する関数とするようにすることで、量子力学の非線形一般化を導入する。
• 基本的長さ αre（α は構造定数、re は古典的電子半径）を仮定し、素粒子の質量スペクトルに制約を加える。
• クリフォード代数の同型（Cl(1,2) ≅ ℂℓ₁,₂ ≅ ℂℓ₃,₀ ≅ M₂(ℂ)）を用いて、ランツォスのバイクォaternion形式が、ディラック理論を完全に表現できる最小の代数的構造であることを示し、ディラックの抽象的4スピン形式とは対照的である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ディラック方程式は、公理的ではなく、クォaternionに基づくより基本的な場理論から導出可能であろうか？
• RQ2 ランツォスの基本方程式は、質量と電荷が異なる陽子/中性子、電子/ニュートリノなどのアイソスピン二重項を自然に予測するであろうか？
• RQ3 相対論的波動方程式における質量項を時空に依存する関数として一般化することで、非線形波動理論にどのように到達できるであろうか？
• RQ4 基本的長さスケール αre が、標準模型におけるクォークと質量のあるレプトンの数にどのような制約を加えるであろうか？
• RQ5 バイクォaternionとクリフォード代数を用いて、同じ代数的構造でフェルミオンと質量のあるベクトルボソンを1つの統一的場理論的枠組みで記述可能であろうか？

主な発見

• ランツォスの1929年のクォaternion的場方程式は、スピン1/2粒子のスペクトルが自然にアイソスピン二重項を形成する結果としてディラック方程式を導出する。
• 同じ基本方程式は、スピン1の質量のある粒子に対するプロカ方程式をも再現しており、後に1936年に再発見された。
• アインシュタインとメイヤーの1933年のランツォス理論のラグランジアン一般化により、質量と電荷が異なる粒子の二重項が、陽子/中性子および電子/ニュートリノのペアと整合的に記述可能である。
• 質量項を時空に依存する関数とする要求により、ランツォスは非線形波動理論に到達し、その解は固有解として現れ、現代の非線形量子場理論の予兆を示している。
• 基本的長さ αre（re は古典的電子半径）を仮定することで、クォークが正確に5つ、質量のあるレプトンが正確に3つであると予測され、観測された素粒子スペクトルと一致する。
• ランツォス＝アインシュタイン＝ペティオー模型は、ディラック場がCl(1,2)におけるバイクォaternionとして表現可能であり、ディラック理論を完全に表現できる最小のクリフォード代数であることを示しており、ディラックの抽象的4スピン形式とは対照的である。