[論文レビュー] Landau meets Newton: time translation symmetry breaking in classical mechanics

Liu Zhao, Wei Xu+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2012

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ハミルトニアンが正準ハミルトニアンの二乗である非標準的なハミルトニアン形式を古典力学に提案し、ポテンシャルが負になると時間並進対称性の自発的破れが生じることを可能にする。これはランダウの2次相転移理論との直接的な類似性を確立し、ΛCDM宇宙論モデルを時間並進対称性が破れた基底状態として再定式化する。

ABSTRACT

Every classical Newtonian mechanical system can be equipped with a nonstandard Hamiltonian structure, in which the Hamiltonian is the square of the canonical Hamiltonian up to a constant shift, and the Poisson bracket is nonlinear. In such a formalism, time translation symmetry can be spontaneously broken, provided the potential function becomes negative. A nice analogy between time translation symmetry breaking and the Landau theory of second order phase transitions is established, together with several example cases illustrating time translation breaking ground states. In particular, the $Λ$CDM model of FRW cosmology is reformulated as the time translation symmetry breaking ground states.

研究の動機と目的

• 非標準的ハミルトニアン構造を用いることで、古典的ニュートン系において時間並進対称性の破れが生じうることを示すこと。
• 時間並進対称性の破れとランダウの2次相転移理論との間の形式的類似性を確立すること。
• 逆ハーモニックポテンシャルを用いて、ΛCDM宇宙論モデルを時間並進対称性が破れた基底状態として再定式化すること。
• 負のポテンシャルを持つ古典系における時間並進対称性の破れの動的出現を探索すること。
• 量子重力および宇宙論的モデルに示唆を与える古典的力学的枠組みを提供すること、特にホーキング＝デウィット方程式に関連して。

提案手法

• 標準的ハミルトニアン $ H_1 $ に対して $ H_2 = (H_1)^2 + E_0 $ と定義される非標準的ハミルトニアンを導入し、標準的定式化と同一のニュートン力学を記述する。
• 正準的でない非線形のポisson括弧 $ \{x,v\}_2 = \frac{1}{v^2 + 2U(x)} $ を用い、これにより修正されたハミルトニアンと整合性を保つ。
• 二乗ハミルトニアン $ H_2 $ に対してランダウ型自由エネルギーの最小化を適用し、ポテンシャルの符号を相転移における温度に類似した秩序パラメータとして扱う。
• 負のポテンシャルを持つ系について、基底状態条件 $ H_2 = 0 $ を分析し、これが時間並進対称性が破れた相に対応することを示す。
• Λ と空間曲率 $ k $ を含むフレリッドマン＝ロバートソン＝ウォーカー（FRW）宇宙論モデルを、逆ハーモニックポテンシャルを持つ力学系として再定式化する。
• ΛCDMモデルが $ H_2 = 0 $ である基底状態として現れることを示し、これは $ k \leq 0 $ が整合性を保つために必要であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非標準的ハミルトニアン定式化を用いることで、古典的ニュートン系において時間並進対称性の自発的破れが生じうるか？
• RQ2 時間並進対称性の破れとランダウの2次相転移理論との類似性は、古典力学においてどのように現れるか？
• RQ3 どのような条件下で古典系において時間並進対称性の破れが動的に出現するか？
• RQ4 ΛCDM宇宙論モデルを、古典的力学的枠組みにおいて時間並進対称性が破れた基底状態として一貫して記述できるか？
• RQ5 非線形ポアソン括弧と二乗ハミルトニアンは、時間並進対称性の破れを可能にするために果たす役割は何か？

主な発見

• ポテンシャル関数が負になると、非標準的ハミルトニアン $ H_2 = (H_1)^2 + E_0 $ と非線形ポアソン括弧を用いることで、古典系において時間並進対称性の破れが生じる。
• 系の基底状態は $ H_2 = 0 $ に対応し、これは正準ハミルトニアン $ H_1 $ が消えるときに達成され、時間並進対称性が破れた相に対応する。
• FRW宇宙論のΛCDMモデルは、逆ハーモニックポテンシャルを持つ力学系として再定式化され、基底状態条件 $ H_2 = 0 $ はΛ > 0 のデ de Sitter 宇宙に対応する。
• 基底状態が存在するためには空間曲率 $ k $ が非正（好ましくはゼロ）でなければならない。これは $ H_2 = 0 $ 条件と整合性を保つためである。
• 宇宙論的モデルにおいては、非標準的ハミルトニアン定式化が正準的定式化よりも自然である。これはホーキング＝デウィット方程式および一般相対性理論のハミルトニアン制約と整合する。
• 時間並進対称性の破れのメカニズムは動的に到達可能である：初期条件が対称性を保っている場合でも、系は対称性が破れた状態へ進化しうる。