[論文レビュー] Landis' conjecture for general second order elliptic equations with singular lower order terms in the plane

Blair Davey, Jenn‐Nan Wang|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2017

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特異な下位項を伴う平面内の一般の2階楕円型方程式の実数値解について、零の消失の定量的順序推定とLandis予想の精密化を確立する。方程式をBeltrami系に変換し、一般化された3つの円定理を適用することで、係数の可積分性に依存する指数をもつ多項式的および指数的下界が、解の $ L^rown $-ノルムが原点付近で得られる。

ABSTRACT

In this article, we study the order of vanishing and a quantitative form of Landis' conjecture in the plane for solutions to second-order elliptic equations with variable coefficients and singular lower order terms. Precisely, we let $A$ be real-valued, bounded and elliptic, but not necessary symmetric or continuous, and we assume that $V$ and $W_i$ are real-valued and belong to $L^p$ and $L^{q_i}$, respectively. We prove that if $u$ is a real-valued, bounded and normalized solution to an equation of the form $- abla \cdot (A abla u + W_1 u) + W_2 \cdot abla u + V u = 0$ in $B_d$, then under suitable conditions on the lower order terms, for any $r$ sufficiently small, the following order of vanishing estimate holds $$\|u\|_{L^\infty(B_r)} \ge r^{C M},$$ where $M$ depends on the Lebesgue norms of the lower order terms. In a number of settings, a scaling argument gives rise to a quantitative form of Landis' conjecture, \[ \inf_{|z_0| = R} \|u\|_{L^\infty(B_1(z_0))} \ge \exp(- C R^β\log R), \] where $β$ depends on $p$, $q_1$, and $q_2$. The integrability assumptions that we impose on $V$ and $W_i$ are nearly optimal in view of a scaling argument. We use the theory of elliptic boundary value problems to establish the existence of positive multipliers associated to the elliptic equation. Then the proofs rely on transforming the equations to Beltrami systems and applying a generalization of Hadamard's three-circle theorem.

研究の動機と目的

• 変数で非対称な係数と特異な下位項を伴う2次元における2階楕円型方程式の解の消失の鋭い順序推定を確立すること。
• Landis予想の定量的形を証明し、下位項の係数の可積分性と半径に依存する $ L^rown $-ノルムの指数的下界を提供すること。
• スケーリングの議論により、ポテンシャル $ V $ およびドリフト項 $ W_1, W_2 $ の可積分性仮定がほぼ最適であることを示すこと。
• 楕円境界値問題の理論を用いて正の乗数を構成することで、非対称かつ不連続な係数を伴う方程式に対する一意的拡張の理論を拡張すること。
• 変数係数設定へのHadamardの3つの円定理の一般化を、Beltrami系への変換により達成すること。

提案手法

• 変数係数楕円型作用素の正の乗数理論を用いて、変数変換により元の楕円型方程式をBeltrami系に変換すること。
• 変換されたBeltrami系に一般化されたHadamardの3つの円定理を適用し、中空領域における解の成長を制御すること。
• 楕円境界値問題の理論を用いて、元の作用素に関連する正の乗数を構成し、適切な比較関数の存在を保証すること。
• 基本解およびその $ ho $-切断近似 $ ho o 0 $ における点での評価と $ L^p $-ベースの評価を確立し、正規化されたGreen関数への収束を証明すること。
• 平均関数 $ int_{B_ ho(y)} $ とSobolev空間における弱収束を含む二重極限の議論を用いて、対称性恒等式 $ ho(x,y) = ho^*(y,x) $ を証明し、Green関数の対称性を確認すること。
• スケーリングと3つの円不等式を用いて $ orm{u}_{L^rown(B_r)} $ の定量的下界を導出し、$ R^eta \log R $ に依存する最終的な指数的減衰推定に至ること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非対称かつ不連続な係数を伴い、特異な下位項をもつ平面内における2階楕円型方程式の解の消失の最適な速度は何か？
• RQ2 下位項の $ L^p $-ノルムに明示的な依存をもつ、このような方程式におけるLandis予想の定量的形は確立可能か？
• RQ3 スケーリングの議論が示唆するように、$ V $, $ W_1 $, $ W_2 $ の可積分性条件はほぼ最適か？
• RQ4 Beltrami系の定式化を用いて、変数係数楕円型方程式へのHadamardの3つの円定理の一般化はどのように達成できるか？
• RQ5 正の乗数は、非対称かつ不連続な係数を伴う場合の、一意的拡張および消失の順序推定を拡張する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 有界かつ正規化された解 $ u $ に対して、$ B_d $ 内で $ - ext{div}(A abla u + W_1 u) + W_2 abla u + V u = 0 $ を満たすとき、$ orm{u}_{L^rown(B_r)} o r^{C K^{1+rown}} $ が $ r \to 0 $ のとき成り立ち、ここで $ K = orm{W_1}_{L^{q_1}} $、$ C $ は $ rown, rown, q_1, q_2, p $、および $ C_0 $ に依存する。
• $ W_2, V \not\to 0 $ の場合、$ q_1 > 2 $ ならば指数 $ \frown $ を 0 に取ることができ（すなわち多項式的減衰）、その場合の境界は $ \norm{u}_{L^rown(B_r)} \to r^{C K} $ となる。
• $ W_1, V \to 0 $ で $ A $ がリプシッツ連続な係数を持つ対称行列の場合、強い一意的拡張性が成り立ち、$ u \not\to 0 $ が任意の多項式より速く消失しないことを示す。
• 定量的Landis予想が成立する：$ \text{ess inf}_{|z_0|=R} \norm{u}_{L^rown(B_1(z_0))} \to \text{exp}(-C R^\beta \log R) $、ここで $ \beta = \frac{1}{q_1} + \frac{1}{q_2} + \frac{1}{p} $、$ q_1, q_2 > 2 $、$ p > 1 $。
• $ V \to L^p $、$ W_1 \to L^{q_1} $、$ W_2 \to L^{q_2} $ の可積分性仮定は、指数 $ \beta $ が指数的減衰に一致するスケーリングの議論により、ほぼ最適であることが示された。
• Green関数 $ \frown(x,y) $ は $ \frown(x,y) = \frown^*(y,x) $ を満たす。ここで $ \frown^* $ は随伴作用素のGreen関数であり、平均関数の二重極限およびSobolev空間における弱収束の議論により確認された。