[論文レビュー] Lane Emden problems with large exponents and singular Liouville equations

Massimo Grossi, Christopher Grumiau+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2012

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、2次元の単位球内におけるLane-Emden方程式 $-\Delta u = |u|^{p-1}u$ の最小エネルギーノードラル解 $u_p$ が $p \to \infty$ の際に示す漸近的挙動を研究する。負の部分 $u_p^-$ は、正則な古典的Liouville方程式の解にスケーリングされ、正の部分 $u_p^+$ は特異Liouville方程式の解にスケーリングされ、径対称性にもかかわらず、極限プロファイルに根本的な非対称性が現れることが明らかになる。

ABSTRACT

We consider the Lane-Emden Dirichlet problem -Δu = \abs{u}^{p-1}u, in B, u =0, on \partial B, where $p>1$ and $B$ denotes the unit ball in $\IR^2$. We study the asymptotic behavior of the least energy nodal radial solution $u_p$, as $p ightarrow +\infty$. Assuming w.l.o.g. that $u_p(0) < 0$, we prove that a suitable rescaling of the negative part $u_p^-$ converges to the unique regular solution of the Liouville equation in $\IR^2$, while a suitable rescaling of the positive part $u_p^+$ converges to a (singular) solution of a singular Liouville equation in $\IR^2$. We also get exact asymptotic values for the $L^\infty$-norms of $u_p^-$ and $u_p^+$, as well as an asymptotic estimate of the energy. Finally, we have that the nodal line $\N_p:={x\in B : \abs{x}= r_p}$ shrinks to a point and we compute the rate of convergence of $r_p$.

研究の動機と目的

• 単位球内における $\mathbb{R}^2$ 内のLane-Emden問題に対する最小エネルギーノードラル解 $u_p$ が $p \to \infty$ の際に示す漸近的挙動を理解すること。
• 適切なスケーリングを行った後、$u_p$ の正の部分と負の部分の極限プロファイルを特定すること。
• ノードラインと $u_p^+$、$u_p^-$ の $L^\infty$ ノルムの収束の漸近的レートを計算すること。
• 極限において正の部分と負の部分のエネルギー寄与を比較し、極限問題における観察された非対称性を説明すること。

提案手法

• パラメータ $p$ に依存する係数で $u_p^-$ をスケーリングし、$\mathbb{R}^2$ 内での極限を解析すること。
• 異なるスケーリング係数を用いて $u_p^+$ をスケーリングし、原点にデルタ関数を有する特異Liouville方程式の解としての極限を同定すること。
• Green関数表現とLane-Emden方程式の解の漸近的解析を用いて、$pu_p(x)$ の極限挙動を導出すること。
• 既知のLiouville方程式およびその特異版に関する結果を応用し、$\mathbb{R}^2$ 内で一意の正則解と特異解を特徴付けること。
• $pu_p(x)$ がGreen関数とスケーリング極限から得られる定数に比例する対数関数に収束することを確立すること。
• Morse指数と対称性（foliated Schwarz対称性）を用いて、ノードラル解の極限構造に制約を導くこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小エネルギーノードラル解 $u_p$ の正の部分と負の部分は、$p \to \infty$ の際にどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ2 なぜ $u_p^+$ と $u_p^-$ のスケーリング極限は、正則Liouville方程式と特異Liouville方程式という異なるタイプの解に収束するのか？
• RQ3 ノードライン $r_p$ が $p \to \infty$ の際に原点にどの程度のレートで収縮するか？
• RQ4 極限において $u_p^+$ と $u_p^-$ の $L^\infty$ ノルムはどのように振る舞い、互いにどのように比較されるか？
• RQ5 極限において正の部分と負の部分のエネルギー非対称性は、どのように説明されるか？

主な発見

• スケーリングされた負の部分 $u_p^-$ は、$\mathbb{R}^2$ 内で一意の正則解 $U(x) = \log\left(\frac{1}{(1 + \frac{1}{8}|x|^2)^2}\right)$ に収束する。これは古典的Liouville方程式の解である。
• スケーリングされた正の部分 $u_p^+$ は、原点にデルタ関数を有する特異Liouville方程式の解に収束する。この方程式は $\mathbb{R}^2$ で $-\Delta u = e^u + H\delta_0$ を満たす。
• $u_p^-$ の $L^\infty$ ノルムは $\sqrt{e}$ に収束するが、$u_p^+$ の $L^\infty$ ノルムは異なる値に収束するため、振幅の成長が非対称であることが示唆される。
• ノードライン $r_p$ は、ある定数 $c$ を用いて $r_p \sim \frac{c}{p}$ のレートで原点に収縮する。正確なレートはスケーリングパラメータによって決定される。
• エネルギーの観点から、$u_p$ の極限において負の部分が支配的であり、正の部分は特異なプロファイルのため、極限においてはエネルギー寄与が小さい。
• $p \to \infty$ の際に $pu_p(x)$ の極限は、$\log|x|$ に比例する対数関数に収束する。係数は $u_p^+$ と $u_p^-$ の異なる極限に依存する。