[論文レビュー] Langlands correspondence for isocrystals and the existence of crystalline companions for curves

Tomoyuki Abe|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、有限対角を持つ代数的スタック上の算術Dモジュールの一般化された六ファンクター形式主義を用いて、曲線上の等長的F-等長的コホロロジーのクリスタリン同伴の存在を証明することにより、曲線上の等長的コホロロジーに対するラングランズ対応を確立した。主な結果は、p進同伴に関するデリーニの予想を確認し、しずくモジュライ空間とepsilons因子積公式を介して、p進設定へのラングランズ対応の拡張を達成した。

ABSTRACT

In this paper, we show the Langlands correspondence for isocrystals on curves. This shows the existence of crystalline companion in the curve case. For the proof, we construct the theory of arithmetic $\mathscr{D}$-modules for algebraic stacks whose diagonal morphisms are finite.

研究の動機と目的

• 有限体上の滑らかな曲線上の過収束F-等長的コホロロジーに対するクリスタリン同伴の存在を証明すること。
• 滑らかな曲線上の等長的コホロロジーに対する完全なラングランズ対応を確立し、有限決定的を持つ非可約過収束F-等長的コホロロジーを、有限中心字をもつカスプ的自動形式的表現に結びつけること。
• 算術Dモジュールの六ファンクター形式主義を、有限対角写像をもつ代数的スタックへ一般化し、p進設定におけるコホロロジー的道具を可能にすること。
• デリーニとドリンフェルトの手法をp進設定へ拡張し、ベルティーニ型の予想の下で、ℓ ≠ p に対して過収束F-等長的コホロロジーがℓ進同伴をもつことを証明すること。
• トレース公式とモジュライ空間を用いて、適切なスタックにおけるℓ-独立性およびp進およびℓ進コホロロジーの整合性を確立すること。

提案手法

• 有限対角写像をもつ代数的スタックへ算術Dモジュール理論を一般化し、コホロロジー的作用と整合する導来圏の枠組みを構成した。
• c-適切なスタックに対する六ファンクター形式主義を構築し、押し出し、引き戻し、双対性の下で有限性性質の安定性を保証した。
• アベとマルモラが証明したp進設定におけるepsilons因子の積公式を適用し、ラングランズ対応を表現の一致に還元した。
• ドリンフェルトとラフォルジュのℓ進戦略に従い、しずくモジュライ空間を用いてラングランズ対応を構成した。
• トレース公式と局所化技術を用いて、適切なスタックにおけるℓ-独立性およびp進およびℓ進コホロロジーの整合性を証明した。
• デヴィッサージュとゲルベ還元を用いて、トレース公式を有限滑らか群スキームGの分類スタックBGの状況に還元した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体上の滑らかな曲線上の非可約過収束F-等長的コホロロジーは、常にクリスタリン同伴をもつか？
• RQ2 しずくモジュライ空間とepsilons因子の積公式を用いて、曲線上の等長的コホロロジーに対するラングランズ対応を確立できるか？
• RQ3 有限対角写像をもつ代数的スタック上の算術Dモジュールに対して、六ファンクター形式主義が存在するか？
• RQ4 滑らかなスキーム上の過収束F-等長的コホロロジーが、ℓ ≠ p に対してℓ進同伴をもつ条件は何か？
• RQ5 適切なスタックに対して、ℓ-独立性およびp進およびℓ進コホロロジーの整合性をどのように確立できるか？

主な発見

• 曲線上の等長的コホロロジーに対するラングランズ対応が完全に確立された：有限決定的を持つ非可約過収束F-等長的コホロロジーは、有限中心字をもつカスプ的自動形式的表現と双対的に一対一対応する。
• すべての滑らかな曲線上の過収束F-等長的コホロロジーに対してクリスタリン同伴が存在し、デリーニの「相容れる系」に関する予想の部品(vi)を確認した。
• 有限対角写像をもつc-適切な代数的スタックへ算術Dモジュールの六ファンクター形式主義が拡張され、p進設定におけるコホロロジー的道具の利用が可能になった。
• ベルティーニ型の予想の下で、滑らかなスキーム上の過収束F-等長的コホロロジーは、すべてℓ ≠ p に対してℓ進同伴をもつことが証明され、デリーニの予想の逆が滑らかな場合に成立した。
• ガブラー＝フジワラのℓ-独立性結果が適切なスタックへ一般化され、有限群のゴーラウド作用および普遍的ホメオモルフィズムに対してトレース公式が成り立つ。
• p進設定におけるepsilons因子の積公式により、ラングランズ対応をしずくモジュライ空間の構成に還元でき、ℓ進戦略と類似した構成が可能になった。