[論文レビュー] Langlands duality for Hitchin systems

Ron Donagi, Tony Pantev|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2006

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、複素再帰的群 $G$ のHィチン系が、そのラングランズ双対群 ${}^L G$ のHィチン系と双対であることを示すことで、Hィチン系におけるラングランズ双対性を確立する。双対性は、Hィチン基底間の同型、キャンティル・プリム多様体の双対性、およびヒッグス・ゲルベの導来圏の同値性を通じて実現され、最終的に幾何的ラングランズの固有層の古典的極限としてアーベル化されたヘッケ固有層が構成される。

ABSTRACT

We show that the Hitchin integrable system for a simple complex Lie group $G$ is dual to the Hitchin system for the Langlands dual group $\lan{G}$. In particular, the general fiber of the connected component $\Higgs_0$ of the Hitchin system for $G$ is an abelian variety which is dual to the corresponding fiber of the connected component of the Hitchin system for $\lan{G}$. The non-neutral connected components $\Higgs_α$ form torsors over $\Higgs_0$. We show that their duals are gerbes over $\Higgs_0$ which are induced by the gerbe of $G$-Higgs bundles $\gHiggs$. More generally, we establish a duality between the gerbe $\gHiggs$ of $G$-Higgs bundles and the gerbe $\lan{\gHiggs}$ of $\lan{G}$-Higgs bundles, which incorporates all the previous dualities. All these results extend immediately to an arbirtary connected complex reductive group $\mathbb{G}$.

研究の動機と目的

• 複素再帰的群のためのヒッチンの可積分系の自己双対性をラングランズ双対性を用いて確立すること。
• 群 $G$ および ${}^L G$ のヒッチン線形のニュートラル連結成分が双対なアーベル多様体であることを証明すること。
• ${}^L G$ ヒッチン系上の自然なゲルベとして、非ニュートラル連結成分の双対を同定すること。
• $G$-および ${}^L G$-ヒッグス・ゲルベの導来圏の同値性を構成すること。
• アーベル化されたヘッケ固有層を幾何的ラングランズ固有層の古典的極限として実現すること。

提案手法

• リー代数 $\mathfrak{g}$ 上の $G$-不変な双線形形式を用いて、$G$ および ${}^L G$ のためのヒッチン基底 $B$ と ${}^L B$ 間の同型を構成し、判別式除集合を保存する。
• アーベル・ジャコビ写像とアーベル化されたヘッケ作用素を用いて、キャンティル被覆上のスペクトルデータと一般化されたプリム多様体を関連付ける。
• キャンティル被覆上の $W$-不変な ${}^L T$-バンドルに、ノーム写像 $\operatorname{Nm}$ を構成し、アーベル化されたヘッケ関手を定義する。
• 曲線 $C$ 上のユニバーサルバンドルおよびトロスルを用いて、ゲルベ $\boldsymbol{\mathcal{Higgs}}$ と ${}^L\boldsymbol{\mathcal{Higgs}}$ 間の双対性を実現する。
• アーベル化されたヘッケ関手のグラフの構造層を用いた積分変換により、導来圏の同値性を定義する。
• 1-モチーフおよびスペクトルデータの理論を用いて、双対性を再帰的群およびヘッケ固有層へ一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラングランズ双対性は、再帰的群のためのヒッチン系の幾何学においてどのように現れるか？
• RQ2 $G$ および ${}^L G$ のヒッチン線形のニュートラルおよび非ニュートラル連結成分の間の正確な双対関係は何か？
• RQ3 $G$-ヒッグスバンドルおよび ${}^L G$-ヒッグスバンドルのゲルベが、判別式の補集合上でどのように双対であることを示せるか？
• RQ4 アーベル化されたヘッケ作用素は、ヒッチン系の固有層を構成する際に果たす役割は何か？
• RQ5 $G$-および ${}^L G$-ヒッグス・ゲルベの導来圏の同値性は、幾何的ラングランズ対応の古典的極限をどのように実現するか？

主な発見

• 群 $G$ のヒッチン基底 $B$ は、$G$-不変な双線形形式を用いて、${}^L G$ の基底 ${}^L B$ と同型であり、判別式除集合が入れ替わる。
• $G$ のニュートラル連結成分 $\mathbf{Higgs}_0$ の一般線形は、${}^L G$ の対応する線形と双対な一般化されたプリム多様体である。
• 非ニュートラル連結成分 $\mathbf{Higgs}_\alpha$ は、${}^L\mathbf{Higgs}_0$ 上のゲルベと双対であり、これはユニバーサル $G$-ヒッグス・ゲルベ $\boldsymbol{\mathcal{Higgs}}$ によって誘導される。
• この双対性は判別式の補集合上で大域的に拡張され、ゲルベ $\boldsymbol{\mathcal{Higgs}}$ と ${}^L\boldsymbol{\mathcal{Higgs}}$ 間の双対性が確立される。
• $\boldsymbol{\mathcal{Higgs}}$ と ${}^L\boldsymbol{\mathcal{Higgs}}$ 間の導来圏の同値性が確立され、古典的双対性がカテゴリカルなレベルにまで拡張される。
• アーベル化されたヘッケ固有層は、幾何的ラングランズ固有層の古典的極限として構成され、ヘッケ固有性の明示的実現が得られる。