[論文レビュー] Langlands program for $p$-adic coefficients and the petites camarades conjecture

Tomoyuki Abe|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有限体上の滑らかな曲線における $p$-進係数について、Langlands型対応を確立し、Deligneの「petites camarades」予想が $p$-進表現におけるLanglands対応を含意することを証明する。さらに、滑らかな多様体上のすべての過収束 $F$-等長体のランク $\leq 2$ が $\iota$-混合的であることを示し、$p$-進Langlandsプログラムの重要な側面を支持する。

ABSTRACT

In this paper, we prove that, if Deligne's "petites camarades conjecture" holds, then a Langlands type correspondence holds also for $p$-adic coefficients on a smooth curve over a finite field. We also prove that any overconvergent $F$-isocrystal of rank less than or equal to 2 on a smooth variety is $ι$-mixed.

研究の動機と目的

• 有限体上の滑らかな曲線における $p$-進係数について、Langlands型対応を確立すること。
• $p$-進係数におけるLanglandsプログラムとDeligneの petites camarades 予想との間の同値性を証明すること。
• 滑らかな多様体上のすべての過収束 $F$-等長体のランク $\leq 2$ が $\iota$-混合的であることを示すこと。
• $p$-進エプシロン因子と再帰的写像を用いて、Langlands対応を $p$-進係数へ拡張すること。

提案手法

• [AM] における $p$-進 $\varepsilon$-因子の積公式を用い、petites camarades 予想からLanglands対応を導出する。
• [De1] および [Lau] の標準的議論を適用し、非分岐な場所におけるフロベニウスとヘッケ固有値の一致を通じて対応を確立する。
• 再帰的写像とユニットルート性質を用い、ランク1の $F$-等長体に対してLanglands対応を構成する。
• ベースチェンジと曲線への制限を用い、ランク2より高い $F$-等長体の $\iota$-混合的性をランク1およびランク2の場合に還元する。
• 過収束 $F$-等長体の分岐と特化を用いた $\iota$-混合的性の概念を用い、ランク $\leq 2$ の主な結果を証明する。
• $d$-多様体上の過収束 $F$-等長体および過ホロノミック $F$-$\mathscr{D}^\dagger$-複体の理論を適用し、結果を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Deligneの petites camarades 予想を仮定した下で、$p$-進係数におけるLanglands対応は成り立つか？
• RQ2 滑らかな多様体上のすべての過収束 $F$-等長体のランク $\leq 2$ は $\iota$-混合的か？
• RQ3 エプシロン因子の恒等式を用いて、$\ell$-進から $p$-進係数へのLanglands対応を拡張できるか？
• RQ4 関数体上の $\mathrm{GL}_r$ に対して、非可約な過収束 $F$-等長体と自動形式表現との間に標準的な対応が存在するか？

主な発見

• $p$-進係数におけるLanglands対応は、Deligneの petites camarades 予想と同値である。
• 再帰的写像とユニットルート性質を用い、ランク1の $F$-等長体に対してLanglands対応が確立される。
• ランク2では、$\varepsilon$-因子の一致と命題5.2の結果を用いて対応が構成される。
• 滑らかな多様体上のすべての過収束 $F$-等長体のランク $\leq 2$ は、曲線への還元とベースチェンジを用いて $\iota$-混合的であることが示された。
• $d$-多様体上の過ホロノミック $F$-$\mathscr{D}^\dagger$-複体の $\iota$-混合的性は、予想とランク $\leq 2$ の結果から導かれる。
• 証明は、$p$-進 $\varepsilon$-因子の積公式と $\ell$-進Langlands理論の標準的技法に依存する。