[論文レビュー] Languages Given by Finite Automata over the Unary Alphabet

Czerwiński, Wojciech, Dębski, Maciej+6 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

semigroups and automata theory被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、ユニナリーアルファベット上の有限オートマトンにおける意思決定問題および正則演算のための改善されたアルゴリズムと複雑度境界を提示する。ユニナリーニャの包含関係および等価性のチェックにおいて、時間計算量を 2^O((n log n)^1/2) から 2^O((n log n)^1/3) に大幅に高速化し、ユニナリーユーザブル有限オートマトン（UFA）におけるブール演算について準多項式的状態境界を確立するとともに、指数的下界をエクスポネンシャルタイム予想（ETH）のもとで連結と ω-語の属する問題に対して示している。

ABSTRACT

This paper studies the complexity of operations on finite automata and the complexity of their decision problems when the alphabet is unary. Let $n$ denote the maximum of the number of states of the input finite automata considered in the corresponding results. The following main results are obtained: (1) Given two unary NFAs recognising $L$ and $H$, respectively, one can decide whether $L \subseteq H$ as well as whether $L = H$ in time $2^{O((n \log n)^{1/3})}$. The previous upper bound on time was $2^{O((n \log n)^{1/2})}$ as given by Chrobak (1986), and this bound was not significantly improved since then. (2) Given two unary UFAs (unambiguous finite automata) recognising $L$ and $H$, respectively, one can determine a UFA recognising $L \cup H$ and a UFA recognising complement of $L$, where these output UFAs have the number of states bounded by a quasipolynomial in $n$. However, in the worst case, a UFA for recognising concatenation of languages recognised by two $n$-state UFAs, uses $2^{Θ((n \log^2 n)^{1/3})}$ states. (3) Given a unary language $L$, if $L$ contains the word of length $k$, then let $L(k)=1$ else let $L(k)=0$. Let $ω_L$ be the $ω$-word $L(0)L(1)\ldots$ and let $\cal L$ be a fixed $ω$-regular language. The last section studies how difficult it is to decide, given an $n$-state UFA or NFA

研究の動機と目的

• ユニナリーニャの言語包含関係および等価性を決定する時間計算量の改善。
• ユニナリーユーザブル有限オートマトン（UFA）におけるブール演算（和集合、積集合、補集合）の状態複雑度の分析。
• 固定された ω-正則言語に属する ω-語を生成するかどうかを決定する問題の、タイトな下界を確立すること。
• エクスポネンシャルタイム予想（ETH）がユニナリーオートマトン上の意思決定問題の複雑度に与える影響を調査すること。

提案手法

• ユニナリーワード長の数論的性質とオートマトン内のサイクル構造を活用して、2つのユニナリーニャを比較する新規アルゴリズムを設計する。
• 素数とモジュラー算術に基づく構成を用いて、1-in-3-SAT インスタンスの真理値割り当てを UFA 内のサイクルによってシミュレートする。
• 3-SAT インスタンスの無限反復をエンコードする ω-語を生成する UFA を構築し、各節で正確に1つのリテラルが満たされるかどうかに依存して受理する。
• エクスポネンシャルタイム予想（ETH）を用いて、3-occur 3SAT を ω-語の属する問題に還元することで、条件付き下界を導出する。
• UFA を決定的有限オートマトン（DFA）に変換し、ターゲットの ω-正則言語のミュラー・オートマトンをシミュレートして、無限語の属する問題を検査する。
• ユニナリーニャのためのクロバクの正規形の変種を用いて、この形式にあるオートマトン同士の比較を LOGSPACE で効率的に行えるようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユニナリーニャの言語包含関係を決定する時間計算量は、長年の 2^O((n log n)^1/2) の境界を越えて改善可能か？
• RQ2 ユニナリーユーザブル有限オートマトン（UFA）におけるブール演算（和集合、積集合、補集合）の、最もタイトな状態複雑度は何か？
• RQ3 2つのユニナリーユーザブル有限オートマトン（UFA）の連結において、超多項式的下界が存在するか？もしあるならば、その正確な漸近的形は何か？
• RQ4 エクスポネンシャルタイム予想（ETH）のもとで、固定された ω-正則言語に属する ω-語を生成するかどうかを決定する問題はどの程度困難か？
• RQ5 特にクロバク正規形にある2つのユニナリーユーザブル有限オートマトン（UFA）の比較は、効率的に実行可能か？

主な発見

• ユニナリーニャの包含関係および等価性問題は、2^O((n log n)^1/3) の時間で決定可能であり、以前の 2^O((n log n)^1/2) の境界を改善している。
• ユニナリーユーザブル有限オートマトン（UFA）におけるブール演算（和集合、積集合、補集合）の状態複雑度は、ある定数 c に対して 2^O((log n)^c) で有界であるという準多項式的境界を持つ。
• 2つの n 状態のユニナリーユーザブル有限オートマトン（UFA）の連結における最悪ケースの状態複雑度は 2^Ω((n log² n)^1/3) であり、ほぼタイトな下界を確立している。
• エクスポネンシャルタイム予想（ETH）のもとで、固定された ω-正則言語に属する ω-語を生成するかどうかを決定する問題には、2^Ω′((n log n)^1/3) の時間が必要であり、上界と比較して対数的要因を除き一致する。
• クロバク正規形にある2つのユニナリーユーザブル有限オートマトン（UFA）の比較は、LOGSPACE で行えるため、この制限付きクラスにおいて顕著な効率向上が達成されている。
• 一般のユニナリーユーザブル有限オートマトン（UFA）について、和集合、積集合、補集合、およびクラーネスター演算はすべて POLYLOGSPACE で実行可能である。