[論文レビュー] Laplace deconvolution and its application to Dynamic Contrast Enhanced imaging

Fabienne Comte, C.A. Cuénod+2 more|Jul 10, 2012

Numerical methods in inverse problems参考文献 32被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、動的対比強調（DCE）医療画像における組織残留関数の推定を目的として、ラゲール基底展開を用いた新しいラプラスdeconvolution手法を提案する。この手法は、畳み込みを三角行列構造のトーペリッツ線形系に変換し、複雑さペナルティを用いたモデル選択を可能にすることで、高速な計算が可能となり、オラクルリスクの対数因子以内のリスクを達成し、シミュレーションでも既存手法を上回る性能を示した。

ABSTRACT

In the present paper we consider the problem of Laplace deconvolution with noisy discrete observations. The study is motivated by Dynamic Contrast Enhanced imaging using a bolus of contrast agent, a procedure which allows considerable improvement in {evaluating} the quality of a vascular network and its permeability and is widely used in medical assessment of brain flows or cancerous tumors. Although the study is motivated by medical imaging application, we obtain a solution of a general problem of Laplace deconvolution based on noisy data which appears in many different contexts. We propose a new method for Laplace deconvolution which is based on expansions of the convolution kernel, the unknown function and the observed signal over Laguerre functions basis. The expansion results in a small system of linear equations with the matrix of the system being triangular and Toeplitz. The number $m$ of the terms in the expansion of the estimator is controlled via complexity penalty. The advantage of this methodology is that it leads to very fast computations, does not require exact knowledge of the kernel and produces no boundary effects due to extension at zero and cut-off at $T$. The technique leads to an estimator with the risk within a logarithmic factor of $m$ of the oracle risk under no assumptions on the model and within a constant factor of the oracle risk under mild assumptions. The methodology is illustrated by a finite sample simulation study which includes an example of the kernel obtained in the real life DCE experiments. Simulations confirm that the proposed technique is fast, efficient, accurate, usable from a practical point of view and competitive.

研究の動機と目的

• ノイズが混在した離散的観測下における、速く頑健なラプラスdeconvolution手法の開発を目的とする。動的対比強調（DCE）医療画像を動機づけとしている。
• 組織残留関数 f(t) = β(1 − F(t)) を、造影剤が組織に留まる時間の分布関数 F とともに、ノイズが混在したDCE-MRI/CTデータから推定することを目的とする。
• 複雑さペナルティによるモデル選択を用いることで、境界効果を回避し、計算コストを低減することを目的とする。
• 一般条件下で、オラクルリスクの対数因子以内の理論的リスクバウンディングを達成することを目的とし、弱い仮定のもとでは定数因子以内の性能を達成することを目的とする。

提案手法

• 未知関数 f、畳み込みカーネル g、観測信号 y を有限次元のラゲール基底で展開し、問題を線形系に変換する。
• ラゲール関数の正規直交性および再帰的性質から生じる三角行列構造のトーペリッツ行列を用い、基底展開後に前進代入により高速に解を求める。
• 推定器におけるバイアスとバリアンスのバランスを最適化するため、最適な切断レベル m の選択に複雑さペナルティを適用する。
• ノイズ成分の安定性とリスク制御を保証するため、ランダム行列フレームワークを用いて濃縮不等式を導出する。
• 生成関数 (1−z)−r に関連するトーペリッツ作用素のフロベニウスノルムを用いて、推定誤差のバウンディングを実施する。
• ノイズ行列と設計行列を含む二次形式の本質的上限を制御することで、非漸近的リスクバウンディングを導出し、オラクル型の性能を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノイズが混在した離散的DCE-MRI/CTデータに対して、カーネルの正確な知識が不要な高速かつ安定したラプラスdeconvolution手法を開発可能か？
• RQ2 ラプラス畳み込みの文脈において、従来のdeconvolution手法の境界効果と計算非効率性は、どのように緩和可能か？
• RQ3 複雑さペナルティによるモデル選択を施したラゲールベース推定器の理論的リスク性能は何か？
• RQ4 提案手法は有限標本において、どの程度までほぼオラクルリスク性能を達成できるか？

主な発見

• モデルにあらゆる仮定を設けない状況下でも、オラクルリスクの対数因子以内のリスクを達成し、多様なデータ設定にわたる頑健性を保証した。
• 弱い正則性仮定のもとでは、リスクがオラクルリスクの定数因子以内に収束し、強力な理論的性能を示した。
• 三角行列構造のおかげで計算が著しく効率的であり、基底展開後に前進代入により高速に解が得られた。
• シミュレーションにより、有限標本下での精度、安定性、および既存手法との競争力が確認された。実際のDCE-CTカーネル関数を用いた場合にも同様の結果が得られた。
• ラゲール関数の自然な減衰特性のおかげで、ゼロおよび T における切断や延長に起因する境界効果を回避できた。
• 複雑さペナルティによる切断レベル m の選択により、バイアスとバリアンスの最適なバランスが保証され、得られるリスクについて理論的保証が得られた。