[論文レビュー] Laplace operators and diffusions in tangent bundles over Poisson spaces

Sergio Albeverio, Alexei Daletskii+1 more|ArXiv.org|Aug 14, 2006

advanced mathematical theories参考文献 25被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ポアソン配置空間上の接 bundle に微分形式およびラプラシアンを構築し、関数上のディリクレ作用素と基底多様体上のウィッテンラプラシアンを用いて、1-形式に対するド・ラーム型ラプラシアンを導入する。主な貢献は、関連するラプラシアンの確率的セミ群表現であり、基底空間上の確率過程と無限次元ポアソン空間の幾何学を結びつける。

ABSTRACT

Spaces of differential forms over configuration spaces with Poisson measures are constructed. The corresponding Laplacians (of Bochner and de Rham type) on 1-forms and associated semigroups are considered. Their probabilistic interpretation is given.

研究の動機と目的

• 局所的有限配置の多様体としての無限次元ポアソン空間への有限次元のホッジ–ド・ラーム理論の拡張を図ること。
• ポアソン測度を備えたポアソン配置空間上の微分形式の空間を定義すること。
• この無限次元設定において1-形式に作用するラプラシアン（ボッハネル型およびド・ラーム型）を構築し、解析すること。
• 基底多様体上の確率過程を通じて、関連するセミ群の確率的解釈を提供すること。
• ポアソン空間上のド・ラームラプラシアンと基底多様体上のウィッテンラプラシアンとの間の関係を確立すること。

提案手法

• 配置測度に関してL²内積を備えたヒルベルト空間 T_γΓ_X = ⊕_{x∈γ} T_xX として、ポアソン配置空間 γ ∈ Γ_X への接 bundle を定義する。
• 基底多様体 X 上の確率過程 (ξ_γ(t)) の族を導入し、接 bundle 上の力学を駆動する。これにより平行移動作用素 P_ξ^J(t) を定義する。
• 平行移動の期待値を用いて1-形式上のセミ群 T_1^J(t) を構成する：T_1^J(t)V(γ) = E[P_ξ^J(t)V(ξ_γ(t))] とし、基底空間の幾何学と配置空間を結びつける。
• 同型写像 I^1 を用いて、配置空間上のセミ群を関数上のオーランシュタイン＝ウーレンバックセミ群 T_0(t) と1-形式上のプロセスに基づくセミ群 T_1^J(t) のテンソル積に分解する。
• セミ群 T_1^J(t) の生成作用素 H_1^J を導出し、ポテンシャル J を通じて基底多様体上のウィッテンラプラシアンと関係づける。
• ポアソン空間上のド・ラームラプラシアンが、J = R_σ(x) のときセミ群 T_1^J(t) の生成作用素に対応することを確立し、曲率とポアソン測度の強度と結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元ポアソン配置空間上に微分形式を厳密に定義する方法は何か？
• RQ2 ポアソン空間上の1-形式に対するド・ラームラプラシアンの構造は何か？また、基底多様体の幾何学とどのように関係するか？
• RQ3 1-形式上のラプラシアンは、基底多様体上の確率過程を通じて確率的に表現可能か？
• RQ4 配置空間上のラプラシアンに関連するセミ群は、基底空間の力学をどのように分解できるか？
• RQ5 この無限次元枠組みにおいて、関数上のディリクレ作用素と1-形式上のラプラシアンの関係は何か？

主な発見

• ポアソン空間上の1-形式に対するド・ラームラプラシアンは、関数上のディリクレ作用素と基底多様体上のウィッテンラプラシアンの和として表され、後者は強度測度で重み付けられる。
• 1-形式上のセミ群 T_1^J(t) は、||T_1^J(t)V(γ)||_γ ≤ e^{tC} T_0(t)||V(γ)||_γ という推定を満たす。ここで C はポテンシャル J のスペクトルを有界にする定数である。
• セミ群 T_1^J(t) は、同型写像 I^1 を通じて、関数上のオーランシュタイン＝ウーレンバックセミ群 T_0(t) と1-形式上のプロセスに基づくセミ群 T_1^J(t) のテンソル積に等長同型で写される。
• ポアソン空間上のボッハネルラプラシアンの生成作用素 H_π_σ^B は -H_1^{J_0} に等しく、ここで J_0 = 0 であり、H_π_σ^R = -H_1^{J_1} で J_1 = R_σ(x)（曲率ポテンシャル）である。
• セミ群 T_π_σ^B(t) と T_π_σ^R(t) はそれぞれ T_1^{J_0}(t) と T_1^{J_1}(t) に一致し、ラプラシアンの確率的表現を確立する。
• セミ群は L²_π_σΩ¹ 上で強く連続であり、滑らかで-compactly 支えられた1-形式の空間上で生成作用素は本質的に自己共役である。