[論文レビュー] Laplace transformation method for the Black-Scholes equation

Hyoseop Lee, Dongwoo Sheen|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 34被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、時間的・空間的係数に依存するBlack-Scholes方程式を解くための高次で並列化可能なラプラス変換法を提案する。時間変化する係数を持つ偏微分方程式をラプラス逆変換によって独立した楕円型問題の系列に変換することで、スペクトル収束性と並列計算におけるニア・オール・アイドル速度向上を達成し、従来の時間積分スキームに比べて著しく優れた性能を発揮する。また、透明境界条件を用いることで無限空間領域の正確な切断が可能となり、高い精度を維持する。

ABSTRACT

In this paper we apply the innovative Laplace transformation method introduced by Sheen, Sloan, and Thomée (IMA J. Numer. Anal., 2003) to solve the Black-Scholes equation. The algorithm is of arbitrary high convergence rate and naturally parallelizable. It is shown that the method is very efficient for calculating various options. Existence and uniqueness properties of the Laplace transformed Black-Scholes equation are analyzed. Also a transparent boundary condition associated with the Laplace transformation method is proposed. Several numerical results for various options under various situations confirm the efficiency, convergence and parallelization property of the proposed scheme.

研究の動機と目的

• 時間的・空間的係数に依存するBlack-Scholes方程式を、解析解が得られない状況においても高速かつ高次の数値解法で解くこと。
• 従来の時間積分スキームが多数の時間ステップと各ステップにおける高コストな楕円型問題の反復解法を必要とすることによる計算ボトルネックを克服すること。
• ラプラス変換を活用して楕円型問題の解法回数を最小限に抑え、計算コストを著しく低減すること。
• 解の漸近的挙動に基づく新規の透明境界条件を導出し、人工境界での不自然な反射を最小限に抑えること。
• 本手法の高い収束速度、並列化効率、および多様なオプション種別（バスケットオプションを含む）におけるロバスト性を実証すること。

提案手法

• 時間変数に対するラプラス変換を適用し、時間依存のBlack-Scholes偏微分方程式をラプラス変数 $ z $ でパrameter化された独立した楕円型方程式の族に変換する。
• 各変換済み方程式は、空間領域を切断した上で有限差分法または有限要素法を用いて独立に解かれ、$ z $-点ごとに完全な並列化が可能となる。
• 時間領域への解の回復のために、複素平面における適切に選定された経路に沿った数値的逆ラプラス変換（台形則による積分）を実行する。
• 逆ラプラス変換の収束性と安定性を確保するため、パラメータ $ \gamma, \nu, s, \tau $ を有する複素数の経路を用いる。
• 解の漸近的挙動に基づき、出射波の挙動を再現する新規の透明境界条件を変換済み方程式に導出する。これにより、人工境界での不自然な反射を最小限に抑える。
• 空間領域は $ L $ で切断され、境界条件は出射波の挙動に一致するように設計されており、領域サイズを増大させることなく精度を向上させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変数係数を有するBlack-Scholes方程式に対して、ラプラス変換法が古典的時間積分スキームを上回る高次収束性を達成できるか？
• RQ2 提案された透明境界条件は、標準的なディリクレ境界条件と比較して、領域サイズを小さくした場合でも解の精度を著しく向上させるか？
• RQ3 本手法はどの程度並列化可能であり、実際の計算でニア・オール・アイドル速度向上を達成できるか？
• RQ4 相関する複数資産を有するバスケットオプションに本手法を適用した際の収束速度はどの程度か？
• RQ5 Crank-Nicolsonスキームで得られた基準解と比較して、本手法の誤差と計算コストはどの程度か？

主な発見

• ヨーロピアンオプションの場合、空間方向で2次収束性を示し、観測された減少率は約 2.000 に達し、理論的期待と一致する。
• バスケットオプションにおいては収束率が約 1.81 に達しており、高次元においても2次精度を維持していることが示された。
• 領域サイズを1/4に縮小した場合、透明境界条件を用いることで、ディリクレ条件と比較して相対 $ L^2 $ 誤差がほぼ半減した。
• $ 128 \times 128 $ グリッド上では15 CPU を用いて13.2のスループット向上を達成し、ニア・オール・アイドル並列化効率を示した。
• 15 個の $ z $-点を用いた数値的ラプラス逆変換により、最小限の誤差で高精度なオプション価格が得られ、本手法のロバスト性と安定性が確認された。
• 提案された透明境界条件は、特に計算領域を縮小した場合にディリクレ条件を著しく上回る精度を発揮し、高次元問題に特に適している。