[論文レビュー] Laplace Transforms for Integrals of Markov Processes

Claudio Albanese, Stephan Lawi|ArXiv.org|Oct 8, 2007

Stochastic processes and financial applications参考文献 31被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、拡散過程および有限状態過程の両方を統一的に分類する枠組みを構築する。これらの過程の積分過程のラプラス変換が、超幾何関数を用いて解析的に閉形式で表現可能であることを示す。オーナシュタイン＝ウーレンバック、CIR、幾何ブラウン運動といった古典的モデルを、自己随伴作用素のスペクトル測度に起因するラプラス変換と結びつけることで拡張し、離散的（ラカ）と連続的（双対ヤコビ）過程の間の極限関係を導出する。

ABSTRACT

Laplace transforms for integrals of stochastic processes have been known in analytically closed form for just a handful of Markov processes: namely, the Ornstein-Uhlenbeck, the Cox-Ingerssol-Ross (CIR) process and the exponential of Brownian motion. In virtue of their analytical tractability, these processes are extensively used in modelling applications. In this paper, we construct broad extensions of these process classes. We show how the known models fit into a classification scheme for diffusion processes for which Laplace transforms for integrals of the diffusion processes and transitional probability densities can be evaluated as integrals of hypergeometric functions against the spectral measure for certain self-adjoint operators. We also extend this scheme to a class of finite-state Markov processes related to hypergeometric polynomials in the discrete series of the Askey classification tree.

研究の動機と目的

• 積分過程のラプラス変換が解析的に取り扱えるマコフ過程の既知のクラスを統一的かつ拡張的に扱うこと。
• オーナシュタイン＝ウーレンバック、CIR、幾何ブラウン運動といった古典的モデルを包含する一般枠組みを、超幾何関数および自己随伴作用素のスペクトル測度に基づいて特定すること。
• この枠組みを、アスキ分類木における超幾何多項式に関連する有限状態マコフ過程へ拡張すること。
• 離散的（ラカ）過程と連続的（双対ヤコビ）拡散過程との間の厳密な極限関係を確立すること。
• ラプラス変換および遷移密度を、スペクトル測度に対する超幾何関数の積分として体系的に計算する手法を提供すること。

提案手法

• 時間定常な拡散過程または有限状態過程を用いた、マコフ過程の積分のラプラス変換を期待値として定式化する。
• スペクトル理論を用いて、ラプラス変換を自己随伴作用素のスペクトル測度に対する超幾何関数の積分として表現する。
• アスキ分類木を用いて、有限状態マコフ過程に対応する離散正規直交多項式（例：ラカ多項式）を同定する。
• ラカ過程の有限差分生成子を導出し、$N \to \infty$ のスケーリング $x \mapsto Nx$ の下で、双対ヤコビ拡散生成子に収束することを示す。
• ラカ多項式が双対ヤコビ多項式に収束すること、および積項が極限で指数関数に収束することを確立する。
• 変換則および漸近解析を適用して、離散過程のラプラス変換が連続的双対ヤコビ過程のラプラス変換に収束することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 広範なマコフ過程のクラスを分類可能か。その積分過程のラプラス変換が閉形式で表現可能であるか。
• RQ2 CIR、オーナシュタイン＝ウーレンバック、幾何ブラウン運動といった古典的モデルは、統一的スペクトル理論的枠組みにどのように適合するか。
• RQ3 この枠組みを、アスキスキームにおける超幾何多項式に関連する有限状態マコフ過程へ拡張可能か。
• RQ4 ラプラス変換の文脈において、離散的（ラカ）過程と連続的（双対ヤコビ）拡散過程との間の極限関係は何か。
• RQ5 離散過程のラプラス変換が、その連続的対応物に収束する条件は何か。

主な発見

• 双対ヤコビ拡散過程の積分のラプラス変換は、自己随伴作用素のスペクトル測度に対する超幾何関数の積分として表現可能である。
• 2次オーナシュタイン＝ウーレンバック過程およびヤコビ過程は、提案された分類枠組み内での古典的アフィンおよび2次モデルの拡張として特定される。
• 変換 $x \mapsto Nx$ の下で、$N \to \infty$ の極限において、ラカ過程のラプラス変換が双対ヤコビ過程のラプラス変換に収束することが示された。
• $N \to \infty$ の極限において、ラカ多項式はスケーリング係数 $\frac{n!}{(\alpha+1)_n}$ を除き、双対ヤコビ多項式に収束する。ここで $Z(x) = x(2-x)$ である。
• 積 $\prod_{k=1}^{Nx} \frac{D(k)}{\bar{D}(k)}$ は、$N \to \infty$ の極限で $(1-x)^{\bar{\beta}-\beta}$ に収束する。
• ラカ過程の有限差分生成子は、同一のスケーリング極限下で、双対ヤコビ拡散の無限小生成子に収束する。