[論文レビュー] Laplacian, on the graph of the Weierstrass function

Claire David|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、KigamiとStrichartzのフラクタル解析の枠組みを拡張し、リノーマル化された離散的グラフラプラシアンの極限として、ワイエルシュトラス関数のグラフ上にディリクレ形式とそれに対応するラプラシアンを構築する。主な貢献は、自己相似的で至るところ微分不可能なこのフラクタルグラフ上に弱ラプラシアンを厳密に定義し、スペクトル縮約を用いてそのスペクトルを計算することにある。

ABSTRACT

The Laplacian plays a major role in the mathematical analysis of partial differential equations. Recently, the work of J. Kigami, taken up by R. S. Strichartz, allowed the construction of an operator of the same nature, defined locally, on graphs having a fractal character: the triangle of Sierpinski, the carpet of Sierpinski, the diamond fractal, the Julia sets, the fern of Barnsley. Strangely, the case of the graph of the Weierstrass function, introduced in 1872 by K. Weierstrass, which presents self similarity properties, does not seem to have been considered anywhere. It is yet an obligatory passage, in the perspective of studying diffusion phenomena in irregular structures. We have asked ourselves the following question: given a continuous function u on the graph of the Weierstrass function, under which conditions is it possible to associate to u a function Delta u which is, in the weak sense, its Laplacian ? We present, in the following, the results obtained by following the approach of J. Kigami and R. S. Strichartz. Ours is made in a completely renewed framework, as regards, the one, affine, of the Sierpinski gasket. First, we concentrate on Dirichlet forms, on the graph of the Weierstrass function, which enable us the, subject to its existence, to define the Laplacian of a continuous function on this graph. This Laplacian appears as the renormalized limit of a sequence of discrete Laplacians on a sequence of graphs which converge to the one of the Weierstrass function. The normalization constants related to each graph Laplacian are obtained thanks Dirichlet forms. The spectrum of the Laplacian thus built is obtained through spectral decimation.

研究の動機と目的

• 自己相似的で至るところ微分不可能なフラクタル（例：シエルピンスキーのギャスケット）に限られていたフラクタル上での解析理論を、連続的で至るところ微分不可能な自己相似的曲線であるワイエルシュトラス関数のグラフへ拡張すること。
• ワイエルシュトラス関数のグラフ上に、近似グラフ上の離散的ディリクレ形式のリノーマル化された極限としてディリクレ形式を構築し、弱ラプラシアンを定義すること。
• ワイエルシュトラス関数のグラフのフラクタル幾何学と整合する測度とエネルギー構造を確立し、整合性のあるラプラシアンの定義を可能にすること。
• シエルピンスキーのギャスケットで用いられる手法に倣って、スペクトル縮約を用いて得られたラプラシアンのスペクトルを計算すること。
• 標準的な自己相似的フラクタルにとどまらない、不規則でフラクタル的性質を持つ領域における拡散現象や偏微分方程式の研究のための新しい枠組みを提供すること。

提案手法

• KigamiとStrichartzのアプローチを応用し、ワイエルシュトラス関数のグラフの各部分を区分的線形近似する列を用いる。
• ワイエルシュトラス関数を近似する有限グラフ上に離散的ディリクレ形式を構築し、隣接頂点間の関数値の差分によってエネルギーを定義する。
• リノーマル化を用いて離散ラプラシアンをスケーリングし、その極限が全グラフ上で定義された連続作用素となるようにする。
• 関数のスケーリング特性から導かれる自己相似的測度を、ディリクレエネルギーの重み付けに導入する。
• グラフの自己相似性から導かれる再帰関係を解くことで、ラプラシアンのスペクトルをスペクトル縮約を用いて計算する。
• 固有値パラメータを含む非線形再帰関係を、共役写像への変換により解き、スペクトルの閉形式表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ワイエルシュトラス関数のグラフ上に、厳密にラプラシアンを定義することは可能か？（自己相似的で至るところ微分不可能な曲線である。）
• RQ2 ポスト・クリティカルに有限でない自己相似的集合でないフラクタルグラフ上に、ディリクレ形式と関連エネルギーをどのように構築できるか？
• RQ3 離散的グラフラプラシアンが、整合的で定義された極限作用素へ収束するようにするために、どのような正規化と測度が必要か？
• RQ4 ワイエルシュトラス関数のグラフ上でのラプラシアンのスペクトル構造は何か？ そして、スペクトル縮約によって計算可能か？
• RQ5 ワイエルシュトラス関数のグラフの幾何学的性質（特に複雑な自己相似性と非整数次元）は、ラプラシアンの構築にどのような影響を及えるか？

主な発見

• 近似グラフ上の離散的ディリクレ形式のリノーマル化された極限として、ワイエルシュトラス関数のグラフ上にディリクレ形式が構築され、弱ラプラシアンの定義が可能になった。
• 関数の至るところ微分不可能性にもかかわらず、提案された枠組みのもとで、ラプラシアンはワイエルシュトラス関数のグラフ上で適切に定義され、連続的である。
• スペクトル縮約を用いてラプラシアンのスペクトルが計算され、無限大に集積する離散的固有値の集合が得られた。
• 固有値の再帰関係は、共役写像への変換により解かれ、スペクトルの反復関数による閉形式表現が得られた。
• この構成は、自己相似的測度と、フラクタル幾何学を尊重する特定のエネルギー正規化に依存している。
• この手法は、シエルピンスキーのギャスケット上でのStrichartzのアプローチを、ワイエルシュトラス関数のグラフを含むより広いクラスのフラクタルグラフへ一般化するものである。