[論文レビュー] Laplacian operators and Q-curvature on conformally Einstein manifolds

A. Rod Gover|ArXiv.org|Jun 2, 2005

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、アインシュタイン計量を介して、ラプラシアンのべき乗を用いて定義される、共形アインシュタイン多様体上の新しい一連の標準的共形微分作用素 $P_k$ を導入する。アインシュタイン多様体上では、GJMS作用素が2階ラプラシアン型作用素の積に分解され、ブラソンの $Q$-曲率が定数であり、スカラー曲率を用いた明示的公式を持つことが示される。

ABSTRACT

A new definition of canonical conformal differential operators $P_k$ ($k=1,2,...)$, with leading term a $k^{ m th}$ power of the Laplacian, is given for conformally Einstein manifolds of any signature. These act between density bundles and, more generally, between weighted tractor bundles of any rank. By construction these factor into a power of a fundamental Laplacian associated to Einstein metrics. There are natural conformal Laplacian operators on density bundles due to Graham-Jenne-Mason-Sparling (GJMS). It is shown that on conformally Einstein manifolds these agree with the $P_k$ operators and hence on Einstein manifolds the GJMS operators factor into a product of second order Laplacian type operators. In even dimension $n$ the GJMS operators are defined only for $1\leq k\leq n/2$ and so, on conformally Einstein manifolds, the $P_{k}$ give an extension of this family of operators to operators of all even orders. For $n$ even and $k>n/2$ the operators $P_k$ are given by a natural formula in terms of an Einstein metric but are not natural as conformally invariant operators. They are shown to be nevertheless canonical objects on conformally Einstein structures. There are generalisations of these results to operators between weighted tractor bundles. It is shown that on Einstein manifolds the Branson Q-curvature is constant and an explicit formula for the constant is given in terms of the scalar curvature. As part of development, conformally invariant tractor equations equivalent to the conformal Killing equation are presented.

研究の動機と目的

• 共形アインシュタイン多様体上での $k$ 階ラプラシアンの主項を持つ、新しいクラスの標準的共形微分作用素 $P_k$ を定義すること。
• 偶数次元で $k \leq n/2$ の範囲でのみ定義されていたGJMS作用素を、アインシュタイン計量構造を用いてこの範囲を超えて拡張すること。
• アインシュタイン多様体上ではブラソンの $Q$-曲率が定数であり、その定数の明示的公式を導出すること。
• GJMS作用素の2階作用素への分解を重み付きトラクター bundle へ一般化すること。
• $k > n/2$ の場合、$P_k$ が古典的な意味での自然な共形不変作用素でないにもかかわらず、標準的対象であることを確立すること。

提案手法

• アインシュタイン計量に関連する基本ラプラシアンを用いて、密度 bundle と重み付きトランセクター bundle 間の作用素 $P_k$ を定義する。
• フェッファーマン＝グラハムのアンビエント計量構成とトランセクター微積分を用いて、共形不変方程式および作用素の分解を導出する。
• アインシュタイン多様体上では、GJMS作用素 $\Box_k$ が $\prod_{l=1}^k (\Delta^g - c_l \mathrm{Sc}^g)$ に分解されることを証明する。ここで $c_l = \frac{(n+2l-2)(n-2l)}{4n(n-1)}$ である。
• トランセクター接続、ウェイリテンソル、アインシュタインスケールを用いて $P_3$ の明示的公式を導出し、これがアインシュタイン代表の選択に依存しないことを示す。
• 恒等式 $B_{cd} = (4-n)\sigma^{-1}A_{cde}\nabla^e\sigma$ を用いて、$A^{cde}(\sigma^{-1}\nabla_e\sigma)$ が共形不変であり、アインシュタインスケールに依存しないことを示す。
• $k > n/2$ の場合、$P_k$ が古典的意味での自然な共形不変作用素でないものの、共形アインシュタイン構造上で標準的対象であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共形アインシュタイン多様体上で、アインシュタイン計量構造を用いて、GJMS作用素を $k \leq n/2$ の範囲を超えて標準的構成で拡張できるか。
• RQ2 アインシュタイン多様体上でのGJMS作用素 $\Box_k$ が、ラプラシアンとスカラー曲率を用いてどのように明示的に分解されるか。
• RQ3 アインシュタイン多様体上でのブラソンの $Q$-曲率は定数か。もしそうならば、スカラー曲率を用いたその明示的公式は何か。
• RQ4 共形アインシュタイン構造上での重み付きトランセクター bundle 間の共形微分作用素をどのように定義できるか。
• RQ5 $k > n/2$ の場合、$P_k$ が古典的意味での自然な共形不変作用素でないにもかかわらず、標準的対象であるか。

主な発見

• アインシュタイン多様体上では、GJMS作用素 $\Box_k$ が $\prod_{l=1}^k (\Delta^g - c_l \mathrm{Sc}^g)$ に分解され、ここで $c_l = \frac{(n+2l-2)(n-2l)}{4n(n-1)}$ である。これは完全なスペクトル的分解を示す。
• 偶数次元のアインシュタイン多様体上でのブラソンの $Q$-曲率は定数であり、$Q^g = (-1)^{n/2}(n-1)!\left(\frac{\mathrm{Sc}^g}{n(n-1)}\right)^{n/2}$ で与えられる。
• $k > n/2$ の場合、作用素 $P_k$ は古典的意味での自然な共形不変作用素ではないが、共形アインシュタイン構造上で依然として標準的対象である。
• $P_3$ は明示的に $P_3f = Nf - 8A^{cde}(\sigma^{-1}\nabla_e\sigma)(2\nabla_c\nabla_d f - (n-6)P_{cd}f)$ で与えられる。ここで $Nf = Y^A Y^B \Box D_A D_B f$ である。
• 量 $A^{cde}(\sigma^{-1}\nabla_e\sigma)$ はアインシュタインスケール $\sigma$ の選択に依存せず、$P_k$ 作用素が共形類上で適切に定義されることを保証する。
• 次元 $n \neq 4$ の場合、作用素 $\Box^0_3$ は普遍多項式公式で定義されるが、$n=4$ の場合は分母の極のため、極限的構成が必要となる。