[論文レビュー] Laplacians on periodic discrete graphs

Andrey Badanin, Evgeny Korotyaev+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2013

Graph theory and applications参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、${\mathbb{Z}}^2$-周期的な離散的グラフ上のラプラシアンに対するフロケ・ブロッホ理論を展開し、幾何的パラメータを用いたスペクトル推定を導出し、正方格子およびヘキサゴナル格子の摂動においてスペクトルを完全に特徴づけた。主な結果は、ヘキサゴナル格子に1本の辺を追加することで、その結果得られるグラフが非双対的である場合にかつその場合にのみスペクトルギャップが生じることであり、双対的摂動の場合はスペクトルが$[-1,1]$のまま保たれることである。

ABSTRACT

We consider Laplacians on $\Z^2$-periodic discrete graphs. The following results are obtained: 1) The Floquet-Bloch decomposition is constructed and basic properties are derived. 2) The estimates of the Lebesgue measure of the spectrum in terms of geometric parameters of the graph are obtained. 3) The spectrum of the Laplacian is described, when the so-called fundamental graph consists of one or two vertices and any number of edges. 4) We consider the hexagonal lattice perturbed by adding one edge to the fundamental graph. There exist two cases: a) if the perturbed hexagonal lattice is bipartite, then the spectrum of the perturbed Laplacian coincides with the spectrum $[-1,1]$ for the unperturbed case, b) if the perturbed hexagonal lattice is not bipartite, then there is a gap in the spectrum of the perturbed Laplacian. Moreover, some deeper results are obtained for the perturbation of the square lattice.

研究の動機と目的

• ${\mathbb{Z}}^2$-周期的な離散的グラフ上のラプラシアンに対するフロケ・ブロッホ分解を確立すること。
• グラフの幾何的不変量を用いて、スペクトルのLebesgue測度を推定すること。
• 基本的グラフに1つまたは2つの頂点がある場合のラプラシアンのスペクトルを特徴づけること。
• 正方格子およびヘキサゴナル格子の辺に関する摂動におけるスペクトルの変化を分析すること。
• 量子グラフのスペクトル解析の基盤を、離散的ラプラシアンを用いて提供すること。

提案手法

• ${\mathbb{Z}}^2$-周期性と関連するファイバー束構造を用いて、フロケ・ブロッホ分解を構築すること。
• ${\mathbb{Z}}^2$による作用の下での商として、周期的グラフ$\Gamma$から基本的グラフ$\Gamma_0$を定義し、辺および頂点の構造を保持すること。
• インデックス写像$\tau({\bf e}) = [v] - [u]$を用いて、基本的グラフ内の辺を分類し、並進不変性を追跡すること。
• ヒルベルト空間上の自己共役作用素のスペクトル理論を適用し、ブリユアンゾーンに沿ったラプラシアンの直積分に分解すること。
• 擬周期的境界条件を課した基本的グラフ上の固有値問題を用いて、スペクトルを分析すること。
• グラフの双対性および位相的不変量を用いて、スペクトルギャップの有無を決定すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ${\mathbb{Z}}^2$-周期的な離散的グラフ上のラプラシアンに対して、フロケ・ブロッホ分解を体系的に構築する方法は何か？
• RQ2 このようなラプラシアンのスペクトルのLebesgue測度を制御する幾何的パラメータは何か？
• RQ3 基本的グラフが1つまたは2つの頂点から構成され、任意の本数の辺を持つ場合、ラプラシアンのスペクトルは何か？
• RQ4 ヘキサゴナル格子に1本の辺を追加すると、スペクトルはどのように変化するか。特に、スペクトルギャップの観点から検討すること。
• RQ5 摂動されたヘキサゴナル格子が、$[-1,1]$のスペクトルを保ち続けるか、あるいはギャップを形成する条件は何か？

主な発見

• ${\mathbb{Z}}^2$-周期的な離散的グラフに対して、フロケ・ブロッホ分解が厳密に構築され、ファイバー作用素を用いたスペクトル解析が可能になった。
• スペクトルのLebesgue測度は、基本的グラフ内の頂点数および辺数を用いて推定され、スペクトル的性質と幾何的性質の関係が明確にされた。
• 頂点が1つまたは2つの基本的グラフに対しては、ラプラシアンのスペクトルが完全に特徴づけられ、明示的なバンド構造が導出された。
• ヘキサゴナル格子に1本の辺を追加した場合、その結果得られるグラフが双対的である限り、スペクトルは$[-1,1]$のまま保たれる。
• 摂動されたヘキサゴナル格子が非双対的である場合、スペクトルにギャップが現れ、バンド構造に本質的な変化が生じることを示した。
• 正方格子の摂動に対しては、より深いスペクトル的結果が得られ、特定の条件下でフラットバンドやスペクトルギャップの出現が観察された。