[論文レビュー] Large classes of minimally supported frequency wavelets of L^2(\R) and H^2(\R)

Nicola Arcozzi, Biswaranjan Behera+1 more|ArXiv.org|Jul 17, 2002

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、二進多角形から導かれる対称ウェーブレット集合を用いて、$L^2(\mathbb{R})$ および $H^2(\mathbb{R})$ における最小サポート周波数（MSF）ウェーブレットの広大な族を生成する幾何的構成法を提案する。非可算個の対称ウェーブレット集合の存在を証明し、特に非二進端点をもつものや、原点近傍でフーリエ変換が消えないウェーブレットを含む。これは、HernándezとGarrigósが提起した未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We introduce a method to construct large classes of MSF wavelets of the Hardy space H^2(\R) and symmetric MSF wavelets of L^2(\R), and discuss the classification of such sets. As application, we show that there are uncountably many wavelet sets of L^2(\R) and H^2(\R). We also enumerate all symmetric wavelets of L^2(\R) with at most three intervals in the positive axis as well as 3-interval wavelet sets of H^2(\R). Finally, we construct families of MSF wavelets of L^2(\R) whose Fourier transform does not vanish in any neighbourhood of the origin.

研究の動機と目的

• 「$L^2(\mathbb{R})$ および $H^2(\mathbb{R})$ におけるMSFウェーブレットの大規模クラスを体系的に構成する方法を開発すること。
• すべての $n \geq 1$ に対して、正の実数直線上の有限個の区間からなる対称ウェーブレット集合を分類すること。
• 原点近傍でフーリエ変換が消えないウェーブレットの存在、および非二進端点をもつウェーブレットの存在に関する未解決問題を解決すること。
• 対称ウェーブレット集合および区間ウェーブレット集合が、$L^2(\mathbb{R})$ および $H^2(\mathbb{R})$ において非可算個存在することを示すこと。

提案手法

• 頂点が二進格子上にある多角形と関連付けることによって、任意の $n \geq 1$ に対してパラメータ化された族を得る対称ウェーブレット集合を構成する。
• 定理1における幾何的条件（T）および（D）：$\coprod_{n\in\mathbb{Z}}(K+n) = \mathbb{R}$ a.e. および $\coprod_{n\in\mathbb{Z}}2^nK = \mathbb{R}$ a.e. を用いて、ウェーブレット集合の妥当性を保証する。
• 実数パラメータ $\epsilon$ を用いて、$E_l$、$F_l$、$G_l$、$H_l$ および固定区間 $R_2$、$S_1$、$S_2$、$S_3$、$L_2$、$T_1$、$T_2$、$T_3$ を含む再帰的区間構成により、ウェーブレット集合 $K_{n,\epsilon}$ を定義する。
• 波長変換と平行移動の同値性を証明し、$K_{n,\epsilon}$ がウェーブレット集合条件を満たすことを保証する。
• 対称性と区間の再帰的包含を用いて、$K_{n,\epsilon}$ が有界であり、0 が集積点であることを保証する。
• パラメータ $\epsilon \in (0, e_n/4)$ を用いて、非可算個の異なる対称ウェーブレット集合を生成し、非二進端点をもつものも含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の部分で3つの区間をもつ $K^+$ に対して、$L^2(\mathbb{R})$ に非可算個の対称ウェーブレット集合が存在するか？
• RQ2 原点近傍でフーリエ変換が消えないようなMSFウェーブレットを構成できるか？
• RQ3 非二進端点（すなわち $p/2^q$ の形でないもの）をもつ対称ウェーブレット集合が存在するか？
• RQ4 すべての $n \geq 3$ に対して、対称ウェーブレット集合の完全な分類が可能か？
• RQ5 この構成法により、特定の区間構造をもつ $H^2(\mathbb{R})$ のウェーブレットを生成できるか？

主な発見

• 3つの区間をもつ場合、$a \in (1/3, 1/2)$ に対して $K_a^+ = [a, 1/2] \cup [1-a, 2a] \cup [1, 2(1-a)]$ で定義される対称ウェーブレット集合の族は、非可算個のそれらを提供する。
• すべての $n \geq 2$ および $0 < \epsilon < e_n/4$ に対して、構成されたウェーブレット集合 $K_{n,\epsilon}$ は有界であり、0 が集積点である。
• ウェーブレット $\psi_{n,\epsilon}$ に対応するフーリエ変換は偶関数であり、原点近傍の任意の近傍で消えない。
• 実数パラメータ $a$ に連続的に依存する端点をもつ対称ウェーブレット集合の族を構成し、$n > 2$ に対して非可算性を証明する。
• 1つの区間をもつ場合、唯一の対称ウェーブレット集合はシャノン集合 $K^+ = [1/2, 1]$ である。
• 本稿では、正の軸に高々3つの区間をもつ $L^2(\mathbb{R})$ のすべての対称ウェーブレットと、$H^2(\mathbb{R})$ の3区間ウェーブレット集合を列挙している。