[論文レビュー] Large cliques in graphs with high chromatic number

Csaba Bíró|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、次数がその順序に近い彩色数のグラフにおける最小クリークサイズを調査し、n が十分に大きいとき、彩色数が n−k であるグラフは、k≥5 ならばサイズが少なくとも n−2k+3 のクリークを含むことを証明している。この結果は、k≤6 の場合の予想を解決し、色クラスの構造的解析とリスト彩色技法を用いて、高彩色数の制約下でのクリーク数の下界を確立している。

ABSTRACT

We study graphs whose chromatic number is close to the order of the graph (the number of vertices). Both when the chromatic number is a constant multiple of the order and when the difference of the chromatic number and the order is a small fixed number, large cliques are forced. We study the latter situation, and we give quantitative results how large the clique number of these graphs have to be. Some related questions are discussed and conjectures are posed. Please note that the results of this article were significantly generalized. Therefore this paper will never be published in a journal. See instead arXiv:1103.3917 [math.CO] for the more general results.

研究の動機と目的

• n 個の頂点と彩色数 n−k を持つグラフにおける最小クリーク数 Q(n, n−k) を特定すること。
• 特に小さな k の場合に、彩色数が頂点数に近いとき、クリーク数がどの程度大きくならなければならないかを調査すること。
• 小さな k に対して Q(n, n−k) の正確な値に関する予想を解決し、タイトな下界を確立すること。
• 構造的および極値的グラフ理論的手法を通じて、グラフ彩色、クリーク構造、およびposet次元の間の関係を探索すること。

提案手法

• 彩色数 n−k のグラフの最適彩色を分析し、特にシングルトンおよびダブルトン色クラスに注目する。
• ラマジー理論的境界と独立数の推定を用いて、クリークサイズの下界を導出する。
• 特に、シングルトンを除去した残りの頂点におけるリスト割り当てを分析することで、リスト彩色技法を応用する。
• 非シングルトン頂点に利用可能な色の数（l=1,2,3,4,5）に基づくケース解析を実施する。
• 大きなクリークを避けるために明示的な彩色を構成し、クリークサイズが n−2k+3 未満になるとその構成が破綻することを示す。
• 矛盾と構造的制約（例えば、クリーク内の非辺）を用いて、彩色の議論を通じて大きなクリークの存在を強制する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n 個の頂点と彩色数 n−k を持つグラフにおける最小クリーク数 Q(n, n−k) は何か？
• RQ2 小さな固定された k に対して、彩色数が n−k のとき、クリーク数はどの程度大きくならなければならないか？
• RQ3 予想 Q(n, n−k) = n−2k+⌈k/2⌉ は、十分に大きな n に対して常に成り立つか？
• RQ4 高彩色数が順序に対して相対的に高いグラフにおいて、大きなクリークを強制する構造的制約は何か？
• RQ5 リスト彩色と色クラスの構造的性質は、大きなクリークの存在にどのように影響するか？

主な発見

• k≥5 かつ十分に大きな n に対して、Q(n, n−k)≥n−2k+3 が成り立ち、クリーク数に対するタイトな下界が確立された。
• 予想 Q(n, n−k)=n−2k+⌈k/2⌉ は k≤6 に対しては正しいことが確認されたが、一般には後で反証された。
• シングルトンの数が n−2k+1 または n−2k の場合、残りの頂点は大きなクリークを強制する構造を形成する必要がある。
• 証明は、非シングルトン頂点におけるリスト割り当ての分析に依存しており、大きなクリークを避ける試みは、n−k より少ない色数での有効な彩色に帰着する。
• l=1,2,3,4,5 の色が残りの頂点に利用可能な場合、クリークサイズが有界である限り、大きなクリークを避ける彩色が構成可能だが、これにより矛盾が生じる。
• この結果は、彩色数が n に近いグラフは、少なくともサイズ n−2k+3 のクリークを含む必要があることを示し、予想された値までが最良である。