[論文レビュー] Large deviation analysis for classes of interacting Bosonic cycle counts

Stefan Adams, Matthew Dickson|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2018

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、グランドカノニカルアンサンブル下での相互作用ボソン系における経路カウントの大偏差原理を確立し、非正の相互作用ポテンシャルを許容するよう先行研究を一般化する。熱力学的圧力の変分表現を提示し、HYL（Huang-Yang-Luttinger）モデルにおけるボーズ＝アインシュタイン凝縮（BEC）を、レート関数の最小化子の詳細な解析を通じて、負の相互作用項を含む場合にも証明する。

ABSTRACT

This paper studies probabilistic mean-field models for interacting bosons at a positive temperature in the thermodynamic limit with random particle density. In particular, we prove large deviation principles for empirical cycle counts in all our models, and as such generalise recent work in \cite{ACK} where upper and lower large deviation bounds do not match. Namely, on the one hand we generalise to the so-called grand canonical ensemble, and on the other hand, we consider classes of interaction potentials depending on the cycle counts which are not restricted to be positive. Our large deviation results provide representation formulae for the thermodynamic limit of the pressure which in turn leads to proving Bose-Einstein-condensation (BEC) in all our models. A primary focus and novelty is the pressure representation via extended large deviation analysis for the so-called hard-sphere, or HYL-model (Huang-Yang-Luttinger) studied in \cite{Lew86}. This model has negative counter terms in the Hamiltonian and shows BEC depending on the coupling constants.

研究の動機と目的

• 先行研究では上限と下限の一致が不十分であった制限を克服し、グランドカノニカルアンサンブルにおける相互作用ボソン系への大偏差解析を拡張すること。
• 正でない制限を受ける経路カウントに依存する相互作用ポテンシャルを持つモデル、特に負の補正項を含むHYLモデルを分析すること。
• 拡張された大偏差解析を用いて、熱力学的圧力の変分表現を導出すること。
• レート関数の最小化子の振る舞いを通じて、これらのモデルにおけるボーズ＝アインシュタイン凝縮（BEC）の存在を証明すること。
• 複雑な相互作用構造を有する平均場モデル、特にHYLモデルにおけるBECの研究の厳密なフレームワークを提供すること。

提案手法

• Feynman-Kac公式を用いて相互作用ポテンシャルを組み込むことで、分配関数 $ Z_{\rm \textbackslash{}Lambda}^{{\rm bc}}(\beta,\mu) $ を対称化されたブラウン運動ブリッジ期待値の和として表現する。
• マーク付きポアソン点過程を用いて経路構成をモデル化し、経路長は $ q_k^{\rm bc}/\overline{q}^{\rm bc} $ に従うようにし、経路カウントの経験的測度を可能にする。
• 平均場的経路重みの下で、グランドカノニカルアンサンブルの定式化を用いて、経路カウントの経験的分布に対する大偏差原理を導出する。
• 大偏差原理のレート関数を用いて、熱力学的圧力の変分公式を確立する。
• レート関数の最小化子を分析し、粒子密度および圧力の微分を特定し、それらをBEC転移と関連付ける。
• ボーズ関数およびランベルトW関数の漸近的展開を用いて、圧力の臨界的挙動および特異性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非正の相互作用ポテンシャルを有する相互作用ボソン系における経路カウントの経験的分布に対して、大偏差原理を確立できるか？
• RQ2 グランドカノニカルアンサンブルにおける拡張された大偏差解析を通じて、熱力学的圧力がどのように変分公式として現れるか？
• RQ3 負の相互作用項を含むHYLモデルにおいてボーズ＝アインシュタイン凝縮が発生するか？また、それはレート関数の最小化子によってどのように特徴付けられるか？
• RQ4 化学ポテンシャルおよび温度が、これらのモデルにおけるBECの発生を決定づける役割を果たすか？
• RQ5 ボーズ関数およびランベルトW関数の漸近的挙動が、圧力の臨界点解析にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 本稿は、先行研究 [ACK11] のギャップを解消するため、経路カウントの上界と下界の一致する大偏差境界を確立する。
• 大偏差原理のレート関数を用いて、熱力学的圧力の変分表現を導出するが、これは熱力学的極限で有効である。
• レート関数の零点の解析を通じて、負の相互作用項を含むHYLモデルにおいてもボーズ＝アインシュタイン凝縮を厳密に証明する。
• 圧力の表現から、レート関数の最小化子がゼロサイクル成分に非ゼロの粒子密度を示す場合に凝縮が発生することが明らかになる。
• 解析により、HYLモデルが結合定数に依存してBEC転移を示すことが確認され、[Lew86] での予測と一致する。
• ボーズ関数およびランベルトW関数の漸近的展開を用いて、臨界点における圧力の特異構造を特徴づけ、BEC転移を支持する。