[論文レビュー] Large deviation asymptotics for the left tail of the sum of dependent positive random variables

Peter Tankov|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2014

Probability and Risk Models被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、弱い相関を持つ正の確率変数の和の対数スケールにおける尾部挙動を定量化するための新しい関数的尺度、弱い尾部依存関数を導入する。この尺度をコプシラレベルで定義することにより、ガウス型、ガウス混合型、アーチメデス型、極値コプシラを含むさまざまなコプシラ族における漸近的尾部確率の精密な分析が可能となり、極端事象における依存構造のモデリングに洗練されたツールを提供する。

ABSTRACT

We introduce a new functional measure of tail dependence for weakly dependent (asymptotically independent) random vectors, termed weak tail dependence function. The new measure is defined at the level of copulas and we compute it for several copula families such as the Gaussian copula, copulas of a class of Gaussian mixture models, certain Archimedean copulas and extreme value copulas. The new measure allows to quantify the tail behavior of certain functionals of weakly dependent random vectors at the log scale.

研究の動機と目的

• 従来の尾部依存度測度が失敗する弱い相関を持つ正の確率変数の和における尾部挙動のモデリングという課題に対処すること。
• 弱い相関を持つベクトルの対数スケールにおける漸近的依存構造を捉える新しい関数的尺度を開発すること。
• コプシラフレームワーク内で特に定義・計算することにより、複数の依存族にわたる取り扱いやすい分析を可能にする弱い尾部依存関数を定義すること。
• 漸近的独立性下での弱い相関を持つ確率変数ベクトルの関数的挙動（特に和）の尾部挙動を定量化すること。
• 多変量設定におけるリスク評価および極値分析の理論的裏付けと計算可能性を兼ね備えたツールを提供すること。

提案手法

• コプシラレベルで定義された、弱い相関を持つ確率変数ベクトルの同時尾部挙動を特徴付ける新しい関数的尺度、弱い尾部依存関数を提案する。
• ガウス型、ガウス混合モデル、特定のアーチメデス型、極値コプシラを含む、いくつかのパラメトリックコプシラ族における弱い尾部依存関数を導出する。
• 漸近的解析を用いて、正の弱い相関を持つ確率変数の和の対数スケールにおける尾部挙動を研究する。
• コプシラに基づく手法を用いて依存構造をモデル化し、漸近的独立性下での尾部依存特性を抽出する。
• 関数的極限定理および正則変動の概念を用いて、和の左尾部における大偏差漸近を導出する。
• 弱い尾部依存関数と、弱い相関を持つ正の確率変数の和に対する大偏差原理との間の関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的尾部依存度が極限で消える弱い相関を持つ確率変数ベクトルにおいて、どのようにして尾部依存度を定量化できるか？
• RQ2 弱い相関を持つ正の確率変数の和の対数スケールにおける尾部挙動を捉える関数的尺度は何か？
• RQ3 ガウス型、アーチメデス型、極値コプシラなどの異なるコプシラ族において、弱い尾部依存関数はどのように振る舞うか？
• RQ4 弱い尾部依存関数を用いて、依存する正の確率変数の和の左尾部における大偏差漸近を導出できるか？
• RQ5 コプシラレベルでの弱い尾部依存関数と、弱い相関を持つベクトルの関数的挙動の漸近的尾部挙動との関係は何か？

主な発見

• 弱い尾部依存関数は、古典的尾部依存度が消える場合でも意味を持つ洗練された尾部依存度の測度を提供し、弱い相関を持つベクトルに適用可能である。
• ガウスコプシラに対しては、関数が明示的に計算され、漸近的独立性と整合する特定の対数的減衰率を示している。
• 特定のガウス混合モデルでは、漸近的独立性にもかかわらず、弱い尾部依存関数が非自明な尾部構造を明らかにしている。
• 新しい関数的尺度を用いて、依存する正の確率変数の和の左尾部における大偏差漸近を成功裏に導出できた。
• このアプローチにより、特に和のような関数的挙動において、対数スケールでの尾部挙動の正確な定量化が可能であることが示された。
• このフレームワークは、アーチメデス型や極値コプシラを含む、コプシラ族全体に広く適用可能であり、極値およびリスクモデリングにおける統一的分析ツールを提供する。