[論文レビュー] Large deviation expansions for the coefficients of random walks on the general linear group

Hui Xiao, Ion Grama+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2020

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 53被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、i.i.d. 行列列の下で $GL(d,\mathbb{R})$ 上の確率的行列積の係数 $\pi(f, G_n v)$ に対して、Bahadur-Rao-Petrov 型の大偏差展開を確立する。スペクトルギャップおよび変位測度下での定常測度のホルダー連続性を分析することにより、明示的な大偏差漸近展開を導出し、既存の境界を改善するとともに、係数に対する新しい局所中心極限定理（大偏差付き）を導く。

ABSTRACT

Let $(g_n)_{n\geq 1}$ be a sequence of independent and identically distributed elements of the general linear group $GL(d, \mathbb R)$. Consider the random walk $G_n: = g_n \ldots g_1$. Under suitable conditions, we establish Bahadur-Rao-Petrov type large deviation expansion for the coefficients $\langle f, G_n v angle$, where $f \in (\mathbb R^d)^*$ and $v \in \mathbb R^d$. In particular, our result implies the large deviation principle with an explicit rate function, thus improving significantly the large deviation bounds established earlier. Moreover, we establish Bahadur-Rao-Petrov type large deviation expansion for the coefficients $\langle f, G_n v angle$ under the changed measure. Toward this end we prove the Hölder regularity of the stationary measure corresponding to the Markov chain $G_n v /|G_n v|$ under the changed measure, which is of independent interest. In addition, we also prove local limit theorems with large deviations for the coefficients of $G_n$.

研究の動機と目的

• i.i.d. 行列積 $GL(d,\mathbb{R})$ 上の係数 $\langle f, G_n v\rangle$ の精密な大偏差漸近展開を導出すること。
• 形式 $\mathbb{P}(\log|\langle f, G_n v\rangle| > nq) \leq e^{-cn}$ の既存の大偏差境界を改善し、明示的なレート関数を提供すること。
• 変位測度 $\mathbb{Q}_s^x$ の下で $\langle f, G_n v\rangle$ の Bahadur-Rao-Petrov 型展開を確立することにより、より鋭い尾部推定を可能にする。
• 変位測度下でのマルコフ連鎖 $G_n v / |G_n v|$ に関連する定常測度のホルダー連続性を証明すること。これは独立に価値のある結果である。
• 精密な漸近展開を用いて、係数 $\langle f, G_n v\rangle$ に対する新しい大偏差付き局所中心極限定理を導出すること。

提案手法

• 射影空間 $\mathbb{P}^{d-1}$ 上のランダムウォークのスペクトル的性質を分析するために、移動作用素 $P_s$ 及びその随伴作用素 $P_s^*$ を用いる。
• 累積生成関数 $\Lambda(s) = \log \kappa(s)$ に Fenchel-Legendre 変換 $\Lambda^*$ を適用する。ここで $\kappa(s) = \lim_{n\to\infty} (\mathbb{E}\|G_n\|^s)^{1/n}$ である。
• 移動作用素の固有関数 $r_s(x)$ を用いて、測度 $\mathbb{Q}_s^x$ を定義し、$\log|\langle f, G_n v\rangle|$ の尾部挙動を研究する。
• スペクトルギャップ推定と双対移動作用素 $P_s^*$ の使用により、$\mathbb{Q}_s^x$ 下での定常測度のホルダー連続性を確立する。
• $\mathbb{Q}_s^x$ 下で、ノルムコサイクル $\log|G_n v|$ の中心極限定理および強大数法則を適用し、フラクチュエーションを制御する。
• 期待値を二つの部分に分解する：$J_1$ は $Y_n^{x,y} = \log \delta(y, G_n x)$ が大きな負の値をとる場合、$J_2$ は区間 $I_k$ に対応する。切断および集中不等式を用いて、$J_1 \to 0$ および $J_2 \to \int e^{-(t-s)u} \psi(u) du$ を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GL(d,\mathbb{R}) 上の確率的行列積の係数 $\langle f, G_n v\rangle$ に対して、明示的な Bahadur-Rao-Petrov 型大偏差展開を導出可能か？
• RQ2 確率 $\mathbb{P}(\log|\langle f, G_n v\rangle| > nq)$ の正確な崩壊レートは何か？ そして、以前の境界 $e^{-cn}$ をどのように改善するか？
• RQ3 変位測度 $\mathbb{Q}_s^x$ 下での定常測度のホルダー連続性は、大偏差展開の導出にどのように寄与するか？
• RQ4 精密な漸近展開を用いて、$\langle f, G_n v\rangle$ に対する大偏差付き局所中心極限定理を確立可能か？
• RQ5 $(G_n x, \log|\langle f, G_n v\rangle|)$ の連合大偏差挙動は何か？ そして、これにより係数の尾部分布に関する新たな結果が得られるか？

主な発見

• 本稿は、$\langle f, G_n v\rangle$ に対して Bahadur-Rao-Petrov 型の大偏差展開を確立し、明示的なレート関数 $\Lambda^*$ を伴う大偏差原理を示す。これは、以前の境界 $\mathbb{P}(\log|\langle f, G_n v\rangle| > nq) \leq e^{-cn}$ を著しく改善する。
• 測度 $\mathbb{Q}_s^x$ の下で、$\liminf_{n\to\infty} \frac{1}{n}\log|\langle f, G_n v\rangle| \geq \Lambda'(s)$ 几乎 surely が成り立ち、尾部確率の精密漸近展開が積分 $\int_{\mathbb{R}} e^{-(t-s)u} \psi(u) du$ を含む極限を用いて導出される。
• 測度 $\mathbb{Q}_s^x$ の下での定常測度のホルダー連続性が確立され、これは主要な技術的要素であり、確率的行列積の研究において独立に価値のある結果である。
• 本稿は、$\langle f, G_n v\rangle$ に対して、大偏差付きの新しい局所中心極限定理を導出する。これは、$\log|\langle f, G_n v\rangle|$ の密度がスペクトルギャップおよび固有関数構造にスケーリングされたガウス型密度に収束することを示す。
• 上尾部に関しては、漸近展開が $\int_{\mathbb{P}^{d-1}} \varphi(x) \delta(y,x)^t \frac{r_s(x)}{r_t(x)} \pi_t(dx) \int_{\mathbb{R}} e^{-(t-s)u} \psi(u) du + o(1)$ に収束することが示され、大偏差密度の正確な特徴付けが得られる。
• 下尾部の大偏差についても解析され、類似の技術が用いられるが、関連関数空間の非コンパクト性のため、より繊密な制御が要求される。