[論文レビュー] Large deviation for two-time-scale stochastic Burgers equation

Xiaobin Sun, Ran Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 29被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、遅い成分が確率的バーガース方程式に従い、速い成分が確率的反応拡散方程式に従う二時間スケールの確率的バーガース方程式に対して、フリードリーン＝ウェンツェル型の大偏差原理（LDP）を確立する。バドヒラジャとデュプアの（2010）の弱収束基準を用いて、微小なノイズと高速・低速時間スケール分離の下で制御系の漸近的挙動を分析することで、LDPを証明する。

ABSTRACT

A Freidlin-Wentzell type large deviation principle is established for stochastic partial differential equations with slow and fast time-scales, where the slow component is a one-dimensional stochastic Burgers equation with small noise and the fast component is a stochastic reaction-diffusion equation. Our approach is via the weak convergence criterion developed in [3].

研究の動機と目的

• 二時間スケールの確率的偏微分方程式（SPDE）のカップリングされた遅い・速い系に対して、フリードリーン＝ウェンツェル型の大偏差原理（LDP）を確立すること。ここで遅い成分は確率的バーガース方程式、速い成分は確率的反応拡散方程式に従う。
• 微小なノイズと高速スケールのダイナミクスの下で、二時間スケールの確率的系の枠組みにおいて、遅い成分の稀なイベント行動を分析すること。
• 既存のマルチスケール拡散過程に対するLDP結果を、非線形的かつ非勾配構造を持つ無限次元SPDEへと拡張すること。
• バドヒラジャとデュプア（2010）の弱収束基準を適用することで、LDPの解析を簡素化し、より複雑なバナッハ空間における粘性解や弱収束法を避けること。

提案手法

• バドヒラジャとデュプア（2010）の弱収束基準を適用し、二時間スケールSPDE系の遅い成分に対するLDPを証明する。
• 元の系の制御版を導入し、ノイズを制御過程 $ u^ ho $ で置き換えることで、弱収束アプローチを可能にする。
• 時間スケール分離 $ ρ = ρ(ρ) $ の下で、$ ρ \to 0 $ のときの制御過程 $ (X^{\rho,\rho,u^\rho}, Y^{\rho,\rho,u^\rho}) $ の収束を分析する。
• 適切なコンパクト性および連続性条件の下で、制御過程の分布収束が平均化方程式によって支配される極限に収束することを示す。
• バーガース方程式および反応拡散方程式における非線形項を制御するため、半群 $ e^{tA} $ に関するソボレフ埋め込みおよび正則性推定式を用いる。また、非線形二項型作用素 $ b(x,y,z) $ に対する境界を設定する。
• 弱収束基準に基づく制御写像の像のタイト性およびコンパクト性を確立し、レート関数の存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 遅い成分が確率的バーガース方程式、速い成分が確率的反応拡散方程式に従う二時間スケール系において、フリードリーン＝ウェンツェル型の大偏差原理が成立するか？
• RQ2 バドヒラジャとデュプア（2010）の弱収束基準は、このようなマルチスケールSPDE系に対してLDPを証明するために効果的に適用可能か？
• RQ3 この二時間スケールSPDEの文脈において、大偏差原理のレート関数の構造はいかなるものか？
• RQ4 バーガース方程式の非線形項および遅い・速い成分間の結合が、大偏差挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ5 レート関数の有効性を保証するための、係数 $ f, g, \rho_1, \rho_2 $ に対する必要な正則性および成長条件は何か？

主な発見

• 二時間スケールSPDE系の遅い成分 $ X^{\rho,\rho} $ に対して、フリードリーン＝ウェンツェル型の大偏差原理が確立され、レート関数は弱収束基準を介して定義される。
• レート関数 $ I(g) $ は $ \frac{1}{2} \int_0^T \|u(s)\|^2 ds $ で与えられ、ここで $ u $ は $ g = \Gamma^0(\int_0^\cdot u(s) ds) $ を満たす制御過程であり、$ \Gamma^0 $ は制御系の極限を表す。
• 係数およびノイズ作用素に適切な条件を課した下で、弱収束基準の下で制御過程 $ (X^{\rho,\rho,u^\rho}, Y^{\rho,\rho,u^\rho}) $ が分布収束して決定的極限に近づくことが証明された。
• 半群 $ e^{tA} $ に対するソボレフノルムにおける一様推定式、特に $ \|e^{tA}x\|_\gamma \leq C t^{-(\gamma-\theta)/2} \|x\|_\theta $ の形の境界が、解の正則性を制御するために用いられる。
• バーガース非線形性に関連する二項型作用素 $ b(x,y,z) $ は、適切なインデックス条件の下で $ |b(x,y,z)| \leq C \|x\|_{\alpha_1} \|y\|_{\alpha_2+1} \nolinebreak \|z\|_{\alpha_3} $ を満たし、有界性および連続性を保証する。
• 制御写像の像の状態空間におけるコンパクト性が確立され、これは弱収束法の適用およびLDPの成立に不可欠である。