[論文レビュー] Large Deviation implies First and Second Laws of Thermodynamics

Hiroyasu Tajima, Eyuri Wakakuwa+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2016

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、ギブズ状態におけるエネルギー分布に従う大偏差原理から、熱力学の第一法則および第二法則を導出する。断熱過程を量子系と仕事貯蔵の間のエネルギー保存型ユニタリ変換としてモデル化することで、ギブズ状態間の断熱的変換が可能となるのは、正則化されたフォン・ノイマンエントロピーが増加する場合に限ることを証明し、熱力学の中心的役割を果たす仕事貯蔵機構とエントロピー収支を確立する。

ABSTRACT

To reconstruct thermodynamics based on the microscopic laws is one of the most important unfulfilled goals of statistical physics. Here, we show that the first law and the second law for adiabatic processes are derived from an assumption that "probability distributions of energy in Gibbs states satisfy large deviation", which is widely accepted as a property of thermodynamic equilibrium states. We define an adiabatic transformation as a randomized energy-preserving unitary transformations on the many-body systems and the work storage. As the second law, we show that an adiabatic transformation from a set of Gibbs states to another set of Gibbs states is possible if and only if the regularized von Neumann entropy becomes large. As the first law, we show that the energy loss of the thermodynamic systems during the adiabatic transformation is stored in the work storage as "work," in the following meaning; (i) the energy of the work storage takes certain values macroscopically, in the initial state and the final state. (ii) the entropy of the work storage in the final state is macroscopically equal to the entropy of the initial state. As corollaries, our results give the principle of maximam work and the first law for the isothermal processes.

研究の動機と目的

• 微視的量子力学的原理から熱力学第一および第二法則を再構築すること。
• i.i.d. や無限大の熱浴といった強い仮定に依存しないで、長年の課題である熱力学法則の導出を解決すること。
• マクロな熱力学的挙動と一致する量子統計力学的枠組みの中で「仕事」と「熱」を厳密に定義すること。
• 正則化されたフォン・ノイマンエントロピーを用いて、断熱的状態変換の必要十分条件を確立すること。
• 標準的な熱力学法則が、大偏差仮定の下で量子ユニタリダイナミクスのマクロな極限としてどのように現れるかを示すこと。

提案手法

• 熱力学的系と仕事貯蔵を、確率的エネルギー保存型ユニタリ変換を受ける量子系としてモデル化する。
• ギブズ状態におけるエネルギー分布が大偏差原理を満たすと仮定する。これは平衡状態の広く受け入れられた性質である。
• 断熱的変換を、系と仕事貯蔵の間の全エネルギーを保存するユニタリ操作の確率的混合として定義する。
• 断熱的変換の可能性を決定する主要な量として、正則化されたフォン・ノイマンエントロピーを導入する。
• バッチサイズ M → ∞ の極限における漸近的解析を用いて、量子ダイナミクスからマクロな熱力学的挙動を導出する。
• 大偏差推定を適用して、第二法則の条件 ΔS̃_S ≥ 0 がギブズ状態間の断熱遷移に対して必要かつ十分であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子系に関する最小限の仮定から、熱力学第一および第二法則を導出できるか？
• RQ2 ギブズ状態におけるエネルギーの大偏差原理は、マクロな第二法則熱力学を含意するか？
• RQ3 エントロピー変化が無視できる程度の小さな変化を示す仕事貯蔵にエネルギーを蓄える形で、量子統計力学において「仕事」を厳密に定義できるか？
• RQ4 条件 ΔS̃_S ≥ 0 が、ギブズ集合の間の断熱的状態変換に対して必要かつ十分であるか？
• RQ5 標準的な熱力学法則は、マクロな極限において、ユニタリ量子ダイナミクスからどのように現れるか？

主な発見

• 第二法則は、ギブズ状態間の断熱的変換に対して、必要かつ十分な条件として導出される：ΔS̃_S ≥ 0 であり、ΔS̃_S は正則化されたフォン・ノイマンエントロピーの差である。
• 第一法則は、系が失うエネルギーが、マクロに仕事貯蔵に蓄えられ、かつ仕事貯蔵のエントロピーが変化しないことによって確立される。
• 仕事抽出プロセスは、抽出可能な仕事 W が W ≤ −ΔF̃_S を満たす場合に限り可能である。ここで ΔF̃_S は正則化された自由エネルギーの差である。
• 最大仕事の原理は、系としての結果が得られる：最大抽出可能仕事は W_max = −ΔF̃_S である。
• 結果は、強い仮定（i.i.d. や無限大の熱浴）を必要とせず、ギブズ状態におけるエネルギーの大偏差という弱い仮定のもとで成り立つ。
• 導出過程から、マクロな極限においてユニタリ量子ダイナミクスから熱力学的挙動が現れ、o(1) および O(1/M) の補正の意味で収束することが示された。