[論文レビュー] Large Deviation of the Density Profile in the Symmetric Simple Exclusion Process

Bernard Derrida, Joel L. Lebowitz+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2001

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、異なる化学ポテンシャルをもつ粒子バスケットで駆動される1次元開放系における対称的単純排他過程（SSEP）の極端値の挙動を研究し、定常非平衡状態（SNS）を生じさせている。密度分布 ρ(x) に対する非局所的極端値関数 F{ρ} を導出し、平衡系に見られない長距離空間相関が生じることを明らかにした。これはフラクチュエーティング・ハイドロダイナミクスの予測を説明するものであり、非平衡系における自由エネルギー関数の広範な非局所性を示唆している。

ABSTRACT

Abstract We consider an open one dimensional lattice gas on sites i = 1,...,N, with particles jumping independently with rate 1 to neighboring interior empty sites, the simple symmetric exclusion process. The particle fluxes at the left and right boundaries, corresponding to exchanges with reservoirs at different chemical potentials, create a stationary nonequilibrium state (SNS) with a steady flux of particles through the system. The mean density profile in this state, which is linear, describes the typical behavior of a macroscopic system, i.e., this profile occurs with probability 1 when N → ∞. The probability of microscopic configurations corresponding to some other profile ρ(x), x = i/N, has the asymptotic form exp[−NF({ρ})]; F is the large deviation functional. In contrast to equilibrium systems, for which Feq({ρ}) is just the integral of the appropriately normalized local free energy density, the F we find here for the nonequilibrium system is a nonlocal function of ρ. This gives rise to the long range correlations in the SNS predicted by fluctuating hydrodynamics and suggests similar non-local behavior of F in general SNS, where the long range correlations have been observed experimentally. Key words: Large deviations, symmetric simple exclusion process, open system, stationary nonequilibrium state.

研究の動機と目的

• 駆動された拡散系における非平衡定常状態（SNS）の統計力学的理解を図ること。
• 開放境界条件下におけるSSEPにおいて、非典型な密度分布 ρ(x) を観測する確率を特徴づけること。
• SNSにおける密度分布のための極端値関数 F{ρ} を導出すること。これにより、平衡状態の自由エネルギー関数と対比する。
• 非平衡系における長距離空間相関の起源とその意味を調査すること。

提案手法

• 系をN個のサイトからなる1次元格子としてモデル化し、対称的排他運動と境界での粒子交換を仮定する。
• 極端値原理を用いて、マクロな密度分布 ρ(x) の確率を exp[−NF{ρ}] の形で表現する。
• 流体力学的スケーリングと確率過程の生成子を用いて、関数 F{ρ} を導出する。
• F{ρ} が ρ に対して非局所的であることを示し、これは局所的値ではなく分布の全体的な形状に依存することを意味する。
• 非平衡状態の F{ρ} を平衡自由エネルギー関数と比較し、前者に局所性が欠如していることを強調する。
• F{ρ} の非局所性が、SNSにおける長距離相関を示唆しており、フラクチュエーティング・ハイドロダイナミクスの予測と整合的であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SSE Pにおける密度分布のための極端値関数 F{ρ} は、平衡自由エネルギー関数とどのように異なるか？
• RQ2 粒子流量を伴う定常非平衡状態における F{ρ} の関数的形は何か？
• RQ3 なぜSNSは長距離空間相関を示すのか？ これは F{ρ} の構造とどのように関係するか？
• RQ4 非平衡系における極端値関数は本質的に非局所的であるとされるが、その結果は何か？
• RQ5 F{ρ} の非局所性は、駆動系で実験的に観測された長距離相関を説明できるか？

主な発見

• SSE Pにおける密度分布のための極端値関数 F{ρ} は非局所的であり、分布 ρ(x) の全体的形状に依存する。これは、平衡系では局所的であるのとは対照的である。
• F{ρ} の非局所性は、定常非平衡状態における長距離空間相関の存在を直接示唆している。
• 関数 F{ρ} は局所的自由エネルギー密度の積分として表現できず、これは平衡統計力学とは明確に異なる。
• 熱力学的極限において、定常状態の密度分布は線形であり、確率1で典型的なマクロな挙動に対応する。
• 導出結果は、駆動された拡散系におけるフラクチュエーティング・ハイドロダイナミクスの予測が、SSE Pの極端値構造と整合的であることを確認している。
• 本結果は、SSE Pを越えて、定常非平衡状態における極端値関数の非局所性が一般的な特徴である可能性を示唆している。