[論文レビュー] Large Deviation Principle for Empirical Fields of Log and Riesz Gases

Sylvia Serfaty, Thomas Leblé|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2015

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 110被引用数 98

ひとこと要約

本稿は、対数的、クーロン的、またはライエス相互作用を有するN粒子系に対して、制約ポテンシャルのもとで、タグ付き経験的場の大きな偏差原理（LDP）を確立する。これは、経験的場の法則が自由エネルギー汎関数の最小化子に速度Nで集中することを示しており、レート関数は正規化エネルギー（多数体相関）と相対エントロピー（不規則性）の組み合わせであり、微視的スケールにおける秩序とランダムネスの競合を明らかにする。さらに、自由エネルギーの次善の項の展開が得られ、熱力学的極限の存在が確認される。

ABSTRACT

We study a system of N particles with logarithmic, Coulomb or Riesz pairwise interactions, confined by an external potential. We examine a microscopic quantity, the tagged empirical field, for which we prove a large deviation principle at speed N. The rate function is the sum of an entropy term, the specific relative entropy, and an energy term, the renormalized energy introduced in previous works, coupled by the temperature. We deduce a variational property of the sine-beta processes which arise in random matrix theory. We also give a next-to-leading order expansion of the free energy of the system, proving the existence of the thermodynamic limit.

研究の動機と目的

• 対数的、クーロン的、またはライエス相互作用を有するN粒子系が制約ポテンシャルのもとで示す典型的な微視的挙動を特定すること。
• 局所的な粒子配置を微視的スケールで符号化する、洗練された観測量であるタグ付き経験的場のための大きな偏差原理（LDP）を導出すること。
• 系の平衡状態を決定づける、長距離秩序（正規化エネルギーを介して）と不規則性（エントロピーを介して）の間の競合を特定すること。
• 自由エネルギーの次善の項の展開を導出し、熱力学的極限の存在を証明すること。

提案手法

• タグ付き経験的場を、Σ × Config 上の確率測度として定義し、微視的スケールN^{1/d}で各マクロな点x ∈ Σの周囲の局所的粒子配置を符号化する。
• ギブス測度の下で、タグ付き経験的場の法則に対して速度Nの大きな偏差原理を証明し、良いレート関数F_μ^β = (β/2)W(·, μ_V) + ent[·|Π_1]をもつ。
• 多数体相関の尺度として正規化エネルギーW(·, μ_V)と局所的ランダムネスの尺度として相対エントロピーent[·|Π_1]を用いる。
• エネルギー汎関数における発散、特に境界および特異点付近の制御のため、スクリーニングおよび正則化技術を適用する。
• 局所的電場を構成し、楕円型偏微分方程式（例：−div(|y|^γ∇h) = cd,s(μ − m)δ_R^d）を用いて境界層に起因するエネルギー寄与を制御する。
• 平衡測度のホルダー連続性と幾何的レイヤリング（t_jの帰納的構成を用いて）を用いて、境界領域に起因するエネルギー寄与を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 熱的揺らぎのもとで、対数的またはライエス相互作用を有する粒子系の微視的構造はどのように振る舞うか？
• RQ2 タグ付き経験的場の正確な大きな偏差レート関数は何か？ そして、秩序と不規則性のバランスはどのように働くか？
• RQ3 自由エネルギーの熱力学的極限は、主要な平均場近似を超えて確立可能か？
• RQ4 境界効果と局所的相関は、N → ∞ の極限において全エネルギーにどのように寄与するか？

主な発見

• タグ付き経験的場は速度Nで大きな偏差原理を満たし、レート関数F_μ^β = (β/2)W(·, μ_V) + ent[·|Π_1]を有する。これは、この自由エネルギーの最小化子に法則が集中することを示しており、証明される。
• F_μ^βの最小化子は、正規化エネルギー（秩序的配置を好む）とエントロピー（ポisson型のランダムネスを好む）の間の競合を示し、βに依存する。
• Log1およびLog2の場合、自由エネルギー展開はlog Z_N,β = −(β/2)N²I_V(μ_V) + (β/2)(N log N)/d − N min F_μ^β + N(|Σ| − 1) + o(N)として与えられ、熱力学的極限が確認される。
• ライエスの場合、次善の項はO(N)であり、完全な展開により熱力学的極限の存在が確認される。
• 不規則領域に起因する境界層寄与は、ホルダー連続性と幾何的レイヤリングを用いてo(N)として示され、全体のエネルギー展開が有効であることが保証される。
• 証明は、PDEを用いた局所的電場の構成と、コーシー・シュワルツとノルム推定を用いたエネルギー寄与の制御に依存する。