[論文レビュー] Large Deviation Principle For Finite-State Mean Field Interacting Particle Systems

Paul Dupuis, Kavita Ramanan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 20被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、単体の境界付近で遷移率が0に減少する有限状態の平均場相互作用粒子系における同時ジャンプを伴う大偏差原理（LDP）を確立する。ポアソン確率測度の変分表現と境界付近での摂動論法を用い、標準的な測度変換手法が複数同時ジャンプのため失敗する状況でも、積分型レート関数を伴う標本路LDPを証明する。

ABSTRACT

We establish a large deviation principle for the empirical measure process associated with a general class of finite-state mean field interacting particle systems with Lipschitz continuous transition rates that satisfy a certain ergodicity condition. The approach is based on a variational representation for functionals of a Poisson random measure. Under an appropriate strengthening of the ergodicity condition, we also prove a locally uniform large deviation principle. The main novelty is that more than one particle is allowed to change its state simultaneously, and so a standard approach to the proof based on a change of measure with respect to a system of independent particles is not possible. The result is shown to be applicable to a wide range of models arising from statistical physics, queueing systems and communication networks. Along the way, we establish a large deviation principle for a class of jump Markov processes on the simplex, whose rates decay to zero as they approach the boundary of the domain. This result may be of independent interest.

研究の動機と目的

• 有限状態の平均場相互作用粒子系における、複数の粒子が同時にジャンプする場合の経験的測度過程に対する大偏差原理（LDP）の構築を目的とする。
• 複数同時ジャンプのため、独立粒子過程との絶対連続性が失われるため、標準的な測度変換手法が失敗することへの対処を目的とする。
• 単体の境界付近で0に減少するリプシッツ連続な遷移率に対して、一般条件のもとでLDPの証明を目的とする。
• 非線形ODE極限（McKean-Vlasovダイナミクス）の安定性解析に関連する収束路系列の減衰率を特徴付ける、局所一様LDPの強化を目的とする。
• 統計力学、キューイングシステム、通信ネットワークを含むモデルに本結果が適用可能であることを示す。具体的にはキュリー・ヴァイスモデルや代替ルーティングを有するネットワークが含まれる。

提案手法

• 関数的期待値の表現として、ポアソン確率測度の変分表現を基礎的ツールとして用い、経路依存関数の期待値を表現する。
• 遷移率が境界で消失する状況に対処するため、単体の境界付近での摂動論法を適用し、標準的なLDP手法が失敗する状況を扱う。
• 制御過程 $\bar{\alpha}_v(t)$ から導かれる時非定常強度関数を用いて、制御ジャンプ過程を導入し、経験的測度 $\bar{\mu}^n(t)$ と関連付ける。
• ポアソン確率測度の表現を用いた測度変換法により、元の粒子系を明示的なレート関数を持つ制御過程に写像する。
• 凸性とジェンセンの不等式を用いて、レート関数の下界を導出し、変分表現のタイトネスを保証する。
• 双対性による議論により、異なる制御クラス（$\mathcal{A}_b$, $\bar{\mathcal{A}}_b$, $\bar{\mathcal{A}}$）における下界の等価性を確立し、最終的なレート関数表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数の粒子が同時にジャンプする場合、標準的な測度変換手法が不適切となる有限状態の平均場系において、大偏差原理（LDP）を確立できるか？
• RQ2 単体の境界付近で遷移率が0に減少する場合、一様強退化性条件を満たさないが、レート関数はどのように特徴づけられるか？
• RQ3 このような系において、局所一様LDPは成立するか？また、非線形ODE極限（McKean-Vlasovダイナミクス）の安定性にどのような意味を持つのか？
• RQ4 ポアソン確率測度の変分表現は、単体上での非一様かつ状態依存の遷移率を有するジャンプマコフ過程に対応して拡張可能か？
• RQ5 本LDPの結果は、キュリー・ヴァイスモデルや代替ルーティングを有する通信ネットワークモデルにどのような意味を持つのか？

主な発見

• 複数の粒子が同時にジャンプする有限状態の平均場相互作用粒子系の経験的測度過程に対して、境界付近で遷移率が0に減少する場合でも、大偏差原理（LDP）が成立する。
• 境界付近での率の退化にもかかわらず、局所レート関数 $\ell$ を用いた標準的な積分表現が、レート関数に適用可能である。
• 強化されたエルゴディシティ条件のもとで、局所一様LDPが確立され、非線形ODE極限への収束に対するより精密な制御が可能になる。
• 証明は、ポアソン確率測度の新しい変分表現と境界付近での摂動論法に依拠しており、独立粒子過程との絶対連続性の欠如を克服する。
• 主結果は、キュリー・ヴァイスモデルや代替ルーティングを有するネットワークモデルを含む広範なモデルクラスに適用可能であり、本フレームワークの広範な適用可能性を示している。
• 本稿は、境界で減少する率を有する単体上での一般クラスのジャンプマコフ過程に対する大偏差原理を確立し、これは確率過程論において独立に興味深い結果である可能性がある。