[論文レビュー] Large deviation principle for one-dimensional random walk in dynamic random environment: attractive spin-flips and simple symmetric exclusion

Luca Avena, Frank den Hollander+1 more|ArXiv.org|Nov 30, 2009

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 33被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、吸引的スピン反転系またはシンプル対称排他過程によって駆動される動的確率的環境における1次元の無作為ウォークについて、大偏差原理（LDP）を確立する。指数的空間時間混合の下で、アンネールドおよびクエンチドのレート関数が一意のゼロを持つことが示され、静的環境で見られる遅延効果が排除されるが、非コーン混合のシンプル対称排他過程では遅延が持続することが判明する。

ABSTRACT

Consider a one-dimensional shift-invariant attractive spin-flip system in equilibrium, constituting a dynamic random environment, together with a nearest-neighbor random walk that on occupied sites has a local drift to the right but on vacant sites has a local drift to the left. In previous work we proved a law of large numbers for dynamic random environments satisfying a space-time mixing property called cone-mixing. If an attractive spin-flip system has a finite average coupling time at the origin for two copies starting from the all-occupied and the all-vacant configuration, respectively, then it is cone-mixing. In the present paper we prove a large deviation principle for the empirical speed of the random walk, both quenched and annealed, and exhibit some properties of the associated rate functions. Under an exponential space-time mixing condition for the spin-flip system, which is stronger than cone-mixing, the two rate functions have a unique zero, i.e., the slow-down phenomenon known to be possible in a static random environment does not survive in a fast mixing dynamic random environment. In contrast, we show that for the simple symmetric exclusion dynamics, which is not cone-mixing (and which is not a spin-flip system either), slow-down does occur.

研究の動機と目的

• 近接隣接の無作為ウォークについて、吸引的スピン反転系によって駆動される動的確率的環境におけるクエンチドおよびアンネールドの大偏差原理（LDP）を確立すること。
• 静的確率的環境で一般的に見られる遅延現象が、高速混合の動的環境においても持続するかどうかを調査すること。
• 特にコーン混合スピン反転系と非コーン混合のシンプル対称排他過程を比較して、異なる動的環境の下での無作為ウォークの経験的スピードの挙動を分析すること。
• クエンチドおよびアンネールドLDPのレート関数が一意のゼロを持つ条件を特定することにより、遅延が生じないことを示すこと。
• 空間時間混合特性、特に指数的混合が、無作為ウォークの大偏差挙動に与える影響を検討すること。

提案手法

• 動的確率的環境を、ℤ上に定義された、局所的反転率 c(x,η) で定義される生成子 L を持つ、シフト不変かつ吸引的なスピン反転系として形式化し、確率的安定性および一様エルゴード性を保証する。
• 状態依存のジャンプレートを持つ無作為ウォーク X_t を定義：占有状態では右に α のレート、空状態では β のレート（0 < β < α）で移動させ、密度の高い方へドリフトを生じさせる。
• 環境に条件付けられたクエンチド確率測度 P⁰_ξ と、均衡測度 μ に対して平均化されたアンネールド確率測度 ℙ_μ,0 を用いて、クエンチドおよびアンネールドLDPを導出する。
• アンネールドLDPを、クエンチド自由エネルギーと環境の空間時間混合性を組み合わせた変分公式を用いて確立する。
• コーン混合性を仮定して、カップリング法と指数モーメント推定を用いてクエンチドLDPを証明する。
• 非コーン混合環境としてシンプル対称排他過程を分析し、高速混合であっても遅延が依然として生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 動的環境にどのような条件下で、無作為ウォークの経験的スピードに対するアンネールドLDPのレート関数が一意のゼロを持つのか？
• RQ2 静的環境で一般的に観察される「遅延現象」（トラップにより通常より遅く移動する現象）が、高速混合の動的環境でも持続するか？
• RQ3 クエンチドおよびアンネールドのレート関数の形状と定義域にはどのような相違があり、それらが無作為ウォークの典型的な挙動にどのような意味を持つのか？
• RQ4 シンプル対称排他過程のような非コーン混合環境では、遅延効果が持続する可能性があるか？
• RQ5 指数的空間時間混合が、レート関数のゼロの一意性および遅延の不在を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• アンネールドLDPは、凸なレート関数 I^ann(θ) を持つ。この関数は区間 [v⁻_ann, v⁺_ann] でゼロであり、その外側では正であり、典型的なスピードが非退化な区間に集中していることを示している。
• 空間時間混合が指数的である条件（コーン混合よりも強い）が満たされれば、クエンチドおよびアンネールドの両方のレート関数が一意のゼロを持つことが保証され、長期的には遅延が生じないことが示される。
• コーン混合でないシンプル対称排他過程では、本稿が遅延が生じることを示しており、すべての動的環境で遅延がなくなるわけではないことを示している。
• クエンチドLDPはカップリング技術とモーメント推定を用いて確立され、コーン混合の下ではクエンチドスピードがほとんど確実に定数 v に収束することが示された。
• ウォークが √(t log t) のフラクチュエーションスケール内に留まる確率は、対数的漸近的確率がゼロであることが示され、典型的なフラクチュエーションがサブディファジヴであることを示している。
• アンネールドLDPのレート関数は区間 [v⁻_ann, v⁺_ann] の外側で厳密に正であり、この区間は [−(α−β), α−β] に含まれており、最大の可能なドリフトを反映している。