[論文レビュー] Large deviation principle for Poisson driven SDEs in epidemic models

Étienne Pardoux, Brice Samegni-Kepgnou|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、PardouxとKratzによる先行研究を簡略化する新しいアプローチを用いて、遷移率が消える可能性があるポアソン過程によって駆動される感染症モデルのクラスに対して、大偏差原理（LDP）を確立する。定義域およびレート関数に正則化仮定を導入することで、経験過程の良いレート関数を導出し、遷移率が消える場合の確率的感染症ダイナミクスにおけるレアイベントの解析を可能にする。

ABSTRACT

We consider a general class of epidemic models obtained by applying a random time change to a collection of Poisson processes and we show the large deviation principle for such models. We generalize to a more general situation the approach followed by Dolgoaschinnykh [3] in the case of the SIR epidemic model. Thanks to an assumption which is satisfied in many examples, we simplify the recent work by P. Kratz and E. Pardoux [8].

研究の動機と目的

• 遷移率がゼロに近づく可能性があるポアソン過程によって駆動される一般化された感染症モデルクラスに対して、大偏差原理（LDP）を確立すること。
• PardouxとKratzの最近のLDPの証明を、状態空間における幾何的正則化仮定を導入することで簡略化すること。
• 遷移率がゼロに近づく可能性がある、確率的感染症モデルに対して、厳密な大偏差フレームワークを提供すること。これは、たとえば、まれな事象の解析に適している。
• 吸引域からの抜出自体の指数的推定を導出し、LDPを最初の通過時間の漸近的挙動と関連付けること。

提案手法

• 状態依存レートを伴うポアソン過程のランダム時間変換を用いて、感染症過程をジャンプマルコフ過程としてモデル化する。
• 経験過程 $ Z^N(t) $ を、ジャンプベクトル $ h_j $ およびレート関数 $ \beta_j(z) $ の正規化された和として定義する。
• 単体 $ A $ の内部へ点を写像する写像族 $ \Phi_a(z) $ を用いて定義域の正則化を導入し、境界からの一様な距離を保証する。
• 指数的チェビシェフ型不等式と経路近似を用いて、経路事象の対数確率の上界および下界を証明することで、LDPを確立する。
• 制御されたODEの作用積分を用いて定義されるレート関数 $ I_T(\phi) $ を使用する。この関数は、系のハミルトニアンから導出される。
• 縮約原理およびコンパクト性の議論を用いて、スコロホド空間 $ D_{T,A} $ の開集合および閉集合へLDPを拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 遷移率がゼロに近づく場合、感染症モデルにおけるポアソン過程駆動SDEに対して大偏差原理（LDP）を確立できるか？
• RQ2 定義域の正則化 $ \Phi_a $ を導入することで、先行手法と比較してLDPの証明はどのように簡略化されるか？
• RQ3 大規模集団における極限において、吸引域からの抜出自 $ \tau^N_O $ の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ4 レート関数 $ I_T(\phi) $ は、決定的ODE極限およびまれな経路の逸脱とどのように関係するか？

主な発見

• 確率測度 $ \mathbb{P}^N_z $ は、良いレート関数 $ I_T $ を持つ大偏差原理を満たし、まれな事象の確率の指数的減少を保証する。
• 上界は、集合 $ F^s_\delta $ を用いた経路近似の議論により確立され、指数的減少率は $ \exp\{-N(s - \eta)\} $ である。
• 下界は、定義域の内部に留まる制御された経路を構築することで得られ、必要なレート関数条件を満たす。
• 吸引域 $ O $ からの抜出自 $ \tau^N_O $ は、$ \mathbb{P}_z(\exp\{N(V_{\widetilde{\partial O}} - \eta)\} < \tau^N_O < \exp\{N(V_{\widetilde{\partial O}} + \eta)\}) \to 1 $ を満たす、$ N \to \infty $ のとき。
• 平均抜出自は $ \mathbb{E}_z[\tau^N_O] \asymp \exp\{N V_{\widetilde{\partial O}}\} $ を満たし、$ V_{\widetilde{\partial O}} = \inf_{y \in \widetilde{\partial O}} V_{\bar{O}}(z^*, y) $ である。
• レート関数 $ I_T(\phi) $ は、絶対連続経路でのみ有限であり、初期状態空間のコンパクト部分集合上で一様にLDPが成り立つ。