[論文レビュー] Large Deviation Principle for Reflected Poisson driven SDEs in Epidemic Models

Étienne Pardoux, Brice Samegni-Kepgnou|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2018

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、疫病モデルにおける反射型ポアソン駆動確率微分方程式（SDE）について、大偏差原理（LDP）を確立する。ここで過程はコンパクト領域 O 内に常に留まるように制約されている。著者らは、非反射型SDEに対する既存のLDP結果を、境界反射を扱えるように拡張した。特に、決定的極限（大数の法則）が特徴的境界（すなわち、ベクトル場が境界に接する）を示す場合に注目しており、これは、エンドミック平衡の吸引域からの脱出を研究する上で極めて重要である。

ABSTRACT

We establish a large deviation principle for a reflected Poisson driven SDE. Our motivation is to study in a forthcoming paper the problem of exit of such a process from the basin of attraction of a locally stable equilibrium associated with its law of large numbers. Two examples are described in which we verify the assumptions that we make to establish the large deviation principle.

研究の動機と目的

• 決定的極限に特徴的境界（すなわち、ドリフトが境界に接する）を有する、疫病モデルにおける反射型ポアソン駆動SDEについての大偏差原理（LDP）を構築すること。
• 局所的に安定なエンドミック平衡の吸引域からの、確率的疫病モデルの最も確率の高い脱出経路の研究を可能にすること。
• 2つの具体的な疫病モデル例において、LDPの仮定を検証し、実世界の疾病動態への適用可能性を示すこと。
• 非反射型SDEに対するLDPフレームワークを、反射型SDEへと拡張すること。特に、境界上でのジャンプレートの消失という課題に焦点を当てる。

提案手法

• 過程が常にコンパクト領域 O 内に留まるように保証するため、スコロホド型の反射機構を用いて反射型SDEを定義する。
• レート関数 βj がリプシッツ連続であり、境界 ∂O の一部で消失する可能性がある、時間変更付きポアソン過程の定式化を用いる。
• 領域外への逸脱を防ぐためにジャンプダイナミクスを修正し、領域外へのジャンプをブロックするインジケータ関数を用いて、反射過程 Z̃N(t) を構築する。
• 反射過程の平均法則（LLN）極限を確立し、ドリフト b(z) = ∑βj(z)hj を有する決定的ODEへの収束を示す。
• 変分的アプローチを用いてLDPを証明し、非反射型SDEの証明構造を適応するが、境界反射およびレートの消失に対応するように議論を修正する。
• 2つの疫病モデル例において、主要な仮定（例えば、一様に内向きを向いた条件、内部点から出る線分が境界 ∂O を再び交差しないこと）を検証する。これには、飽和効果を有するSIR型モデルが含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 決定的極限に特徴的境界を有する疫病モデルにおける反射型ポアソン駆動SDEについて、大偏差原理（LDP）が成立するか？
• RQ2 境界反射の存在が、レート関数および吸引域からの最も確率の高い脱出経路にどのように影響を与えるか？
• RQ3 SIR や SIS 型モデルに飽和効果を含むような現実的な疫病モデルにおいて、LDPに必要な仮定を検証できるか？
• RQ4 ベクトル場の境界への接性が、確率過程の脱出行動を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 適切な領域およびレート関数に関する仮定の下で、反射型ポアソン駆動SDEは、非反射型の場合と同一の良いレート関数を有する大偏差原理（LDP）を満たす。
• LDPの証明は非反射型の場合から適応され、反射機構および境界上でのジャンプレートの消失に対応するように修正されている。
• 2つの疫病モデル（飽和効果を有するSIR型モデルおよび特徴的境界を有する2 compartment モデル）において、LDPの仮定が検証された。
• 内部点 z₀ が存在し、z₀ から ∂O へ向かう線分が再び ∂O を交差しないことにより、境界からの距離に対する一様な制御が可能となり、これは証明において極めて重要である。
• SIR型モデルにおいて、境界 ∂O 上のベクトル場は西北方向（すなわち、g₁ < 0、g₂ > 0）を指しており、関連する境界部において g₁ + g₂ > 0 が成り立つため、軌道が領域内に留まることが保証される。
• 証明により、境界点 B からエンドミック平衡 z̃ への軌道が、直線 z₁ + z₂ = 1 の真下に厳密に位置することが示された。これは、LDPに必要な幾何的仮定を支持する。