[論文レビュー] Large deviation principle of Freidlin-Wentzell type for pinned diffusion processes

Yuzuru Inahama|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2012

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、弱い楕円性条件の下で、粗いパス理論と準確率的解析を用いて、ピン留めされた拡散過程のFreidlin-Wentzell型大偏差原理を確立する。ブラウン運動を準確率的に粗いパスに上げ、容量に基づく解析を用いることで、$\mu_{a,a'}^\varepsilon$ の法則が、$a$ から $a'$ に接続するパス $h$ に対して、レート関数 $\|h\|_{\cal H}^2/2$ を持つ大偏差原理を満たすことを証明する。

ABSTRACT

Since T. Lyons invented rough path theory, one of its most successful applications is a new proof of Freidlin-Wentzell's large deviation principle for diffusion processes. In this paper we extend this method to the case of pinned diffusion processes under a mild ellipticity assumption. Besides rough path theory, our main tool is quasi-sure analysis, which is a kind of potential theory in Malliavin calculus.

研究の動機と目的

• ピン留めされた拡散過程へのFreidlin-Wentzellの大偏差原理の拡張を図ること。
• 古典的ウィENER空間における伊藤写像の不連続性という挑戦に直面し、新たな枠組みを必要とすること。
• 両端でピン留めされた拡散過程の条件付き法則に対する大偏差原理を確立すること。
• 解析的困難を克服するため、粗いパス理論と準確率的解析を活用すること。
• レート関数が、初期点と終点を接続する制御過程のCameron-Martinノルムに一致することを証明すること。

提案手法

• 準連続過程の理論を用いて、ブラウン運動を幾何学的粗いパス $W$ として、準確率的に上げる。
• Sugitaの定理を適用して、正のWatanabe分布をウィナー空間上のボレル測度として表現する。
• 幾何学的粗いパス空間におけるBesov型ノルムを用いて、正則性を制御し、ホルダーおよび変動ノルムと関連付ける。
• ピン留めされた拡散測度 $\mu_{a,a'}^\varepsilon$ のプッシュフォワードをもたらす、粗いパス空間上の確率測度を構成する。
• Lyons-伊藤写像を用いて、粗いパスの意味でのSDEの解を定義し、連続性を保証する。
• 粗いパス設定における縮約原理を適用し、$\varepsilon W$ の大偏差原理を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 粗いパス理論を用いて、Freidlin-Wentzellの大偏差原理をピン留めされた拡散過程に拡張できるか？
• RQ2 両端でピン留めされた拡散過程の条件付き法則は、$\varepsilon \searrow 0$ のとき大偏差原理を満たすか？
• RQ3 準確率的解析を用いて、ウィナー空間枠組みにおける条件付き処理に生じる特異性を扱えるか？
• RQ4 ピン留めされた拡散過程のレート関数は、$a$ から $a'$ に接続する制御過程のCameron-Martinノルムで与えられるか？
• RQ5 この文脈において、粗いパス空間におけるBesovノルムは、Malliavin微積分と粗いパス理論を結ぶためにどのように利用できるか？

主な発見

• 弱い楕円性条件の下で、幾何学的粗いパス空間上での測度族 $\mu_{a,a'}^\varepsilon$ は大偏差原理を満たす。
• 大偏差原理のレート関数は、$a$ から $a'$ に接続するCameron-Martinパスの集合 ${\cal K}^{a,a'}$ に属する $h$ に対して $\|h\|_{\cal H}^2/2$ で与えられる。
• 証明は、ブラウン運動の粗いパスの準確率的連続性と、Sugitaの定理によるWatanabe分布の表現に依存する。
• 大偏差確率の上界は、コンパクト部とテール部への分解を経て得られ、テール部は指数モーメントとソボレフノルムで制御される。
• 下界は、粗いパス空間内のコンパクト集合によるレート関数の近似によって確立される。
• 結果は、ピン留めされた拡散過程の大偏差挙動が、Cameron-Martin空間における最小エネルギー経路によって支配されることを確認する。