[論文レビュー] Large deviations and adiabatic transitions for dynamical systems and Markov processes in fully coupled averaging

Yuri Kifer|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 56被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、高速運動が遅急変数に依存する完全に結合された平均化状態における、遅急動的システムおよびマーカフ過程の極端な偏差原理を確立する。高速運動が遅急変数に依存する完全に結合された平均化状態において、上界と下界の両方の極端な偏差境界を導出し、指数的長時間スケールにおける平均化系の吸引子間のまれな断熱的遷移の解析を可能にし、古典的平均化原理を非結合状態を超えて拡張する。

ABSTRACT

The work treats systems combining slow and fast motions depending on each other where fast motions are perturbations of families of either dynamical systems or Markov processes with freezed slow variable. In the first case we consider hyperbolic dynamical systems and in the second case we deal with random evolutions which are combinations of diffusions and continuous time Markov chains. We study first large deviations of the slow motion from the averaged one and then use these results together with some Markov property type arguments in order to describe very long time behavior of the slow motion such as its transitions between attractors of the averaged system.

研究の動機と目的

• 高速運動が遅急変数に依存する完全に結合された状態（より現実的だが数学的に複雑）における古典的平均化原理の拡張。
• 遅急運動 $X^\varepsilon$ とその平均化極限 $\bar{X}^\varepsilon$ 間の極端な偏差境界の上界と下界を確立し、測度収束や確率収束を超えて、収束の性質をより精密に分析すること。
• 指数的長時間スケール $\exp(1/\varepsilon)$ における遅急運動の長時間挙動、特に平均化系の吸引子の分岐領域間のまれな遷移の分析。
• 双曲的高速ダイナミクスおよびマーカフ過程（拡散過程や連続時間マーカフ連鎖など）を有する系におけるフラクチュエーションと断熱的遷移を解析するための枠組みの構築。
• 時間スケールの結合が本質的である気象・気候相互作用や摂動付きハミルトニアン系などの現象をモデル化するための厳密な基礎の提供。

提案手法

• 遅急運動 $X^\varepsilon$ の平均化極限 $\bar{X}^\varepsilon$ まわりのフラクチュエーションを解析するための極端な偏差理論の使用。レート関数を用いて上界と下界を導出。
• 行動関数を特徴付けるために $S$-関数形式の適用。双曲的状態ではマルコフ性の議論を活用し、マーカフ過程状態では正確なマルコフ性を活用。
• 時間スケール分離の構築。時間区間の分割を用い、時間区間の区切りと経験測度を用いて偏差を制御。
• ヤング測度とエルゴード理論を用いて弱極限と高速流れ $F^t_x$ の不変測度 $\mu_x$ を取り扱い、平均化されたベクトル場 $\bar{B}(x)$ が適切に定義されることを保証。
• カップリングの議論と集中不等式を用いて、実際の遅急運動とその平均化版との差を評価。リプシッツ連続性と高速ダイナミクスの双曲性に依存。
• 離散時間差分方程式および確率的進化系（特にストキャスティック共鳴を含む）に対しても、類似の極端な偏差および平均化議論を用いて結果を拡張。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高速運動が遅急変数に依存する（完全に結合された状態）場合、古典的平均化原理はどのように拡張可能か？（独立な場合とは異なり、より現実的であるが、数学的に複雑である。）
• RQ2 遅急運動 $X^\varepsilon$ がその平均化極限 $\bar{X}^\varepsilon$ からどれほど離れるかを記述する極端な偏差原理は、時間スケール $1/\varepsilon$ においてどのように規定されるか？
• RQ3 指数的長時間スケール $\exp(1/\varepsilon)$ における遅急運動の挙動は何か？特に、平均化系の吸引子の分岐領域間のまれな遷移はどのように記述されるか？
• RQ4 極端な偏差レート関数と行動関数は、完全に結合された状態における分岐領域間の断熱的遷移をどのように特徴付けるか？
• RQ5 平均化系が、特に高速運動がマーカフ過程である場合に、全系の長期的確率的挙動を正確に記述するための条件は何か？

主な発見

• 完全に結合された状態における遅急運動 $X^\varepsilon$ に対して、上界と下界の両方の極端な偏差境界が確立され、Freidlin-Wentzell型の完全な極端な偏差原理が得られる。
• 極端な偏差レート関数は、平均化されたベクトル場 $\bar{B}(x)$ と高速運動の不変測度 $\mu_x$ を含む行動積分によって特徴付けられる。
• 指数的長時間スケールにおいて、遅急運動は平均化系の吸引子の近傍間のまれな断熱的遷移を示し、これは極端な偏差レート関数によって支配される。
• 平均化原理 $\varepsilon \int E[\sup_t |X^\varepsilon(t) - \bar{X}^\varepsilon(t)|] \to 0$ は、適切なエルゴード性および正則性条件の下で、すべての有界連続関数 $f$ における一様収束に強化される。
• 拡散過程や連続時間マーカフ連鎖などのマーカフ的高速運動に対しては、滑らかで正の不変密度 $q(x,y)$ の存在と、$\lambda$-ほとんど everywhere でのエルゴード性を保証する条件下で、極端な偏差境界が成り立つ。
• 結果は離散時間差分方程式および確率的進化系に対しても拡張可能であり、類似の極端な偏差および平均化結果が、同様の技術を用いて導出される。