[論文レビュー] Large deviations and mixing for dissipative PDE's with unbounded random kicks

Vojkan Jakšić, Vahagn Nersesyan+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 38被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、2次元ナビエ＝ストークス方程式や複素ギンツブルグ＝ランダウ方程式などの散逸的PDEによって生成される離散時間マルコフ過程—これに無限大に及ぶ独立同分布の確率的キックが加えられた場合—に対して、大偏差原理（LDP）を確立する。散逸性、正則化性、非退化性の条件下で、指数的混合性と一意な定常測度の存在を証明し、従来の有界ノイズから無限大ノイズへの結果の拡張を達成した。主な貢献は、標準的な指数的緊性が不十分となる無限大ノイズ設定における、時間平均測度に対するLDPの厳密な検証であり、流体力学的PDEへの応用を含む。

ABSTRACT

We study the problem of exponential mixing and large deviations for discrete-time Markov processes associated with a class of random dynamical systems. Under some dissipativity and regularisation hypotheses for the underlying deterministic dynamics and a non-degeneracy condition for the driving random force, we discuss the existence and uniqueness of a stationary measure and its exponential stability in the Kantorovich-Wasserstein metric. We next turn to the large deviation principle and establish its validity for the occupation measures of the Markov processes in question. The obtained results extend those established earlier for the case of the bounded noise and can be applied to the 2D Navier-Stokes system in a bounded domain and to the complex Ginzburg-Landau equation.

研究の動機と目的

• 散逸的PDEにおける無限大ノイズへの大偏差原理（LDP）の、有界ノイズから無限大ノイズへの拡張を図ること。
• このようなPDEによって生成されるマルコフ過程に対して、指数的混合性および一意な定常測度の存在を確立すること。
• 標準的な指数的緊性が不十分となる無限大ノイズ設定において、時間平均測度に対するLDPの妥当性を検証すること。
• JNPS12の結果を、特にソボレフ空間におけるガウス型キックを含む無限大ノイズに一般化すること。
• 無限大ノイズを伴う確率的駆動PDEにおけるレアイベントおよび長期挙動を研究するための厳密なフレームワークを提供すること。

提案手法

• 散逸的PDEに無限大に及ぶ独立同分布のキックが加えられた場合の、解フローによって生成される離散時間マルコフ過程の枠組みを用いる。
• 指数的緊性と圧力関数の存在を確認することで、キファーの基準を適用してLDPを確立する。
• ハイパーエクスポネンシャル再帰と指数的緊性の推定式を用いて、プロセスの尾部挙動を制御する。
• 一般化されたフェラー性およびカップリング技術を用いて、カンタロヴィチ＝ワッサーシュタイン距離における指数的安定性を証明する。
• 乗法的エルゴード定理および固有ベクトルの存在に関する議論を用いて、マルコフ半群のスペクトル特性を分析する。
• 初期条件およびノイズ実現値の違いに起因する軌道の差を制御するため、フアイアシュ＝プロディ型推定式を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 散逸的PDEに無限大の確率的キックが加えられた場合の、マルコフ過程の時間平均測度に対する大偏差原理は成立するか？
• RQ2 ノイズが非退化的かつソボレフ空間内に存在する場合、無限大ノイズのもとで指数的混合性および一意な定常測度の存在は証明可能か？
• RQ3 大偏差および尾部推定において、無限大ノイズの場合のシステム挙動は、有界ノイズの場合とどのように異なるか？
• RQ4 LDPにおける圧力関数が無限大設定において適切に定義され、有限であるための条件は何か？
• RQ5 抽象的な結果は、2次元ナビエ＝ストークス系や複素ギンツブルグ＝ランダウ方程式といった具体的なPDEに適用可能か？

主な発見

• 無限大ノイズ設定下でも、マルコフ過程の時間平均測度に対する大偏差原理（LDP）が成立し、従来の有界ノイズから無限大ノイズへの結果の拡張が達成された。
• 散逸性、正則化性、非退化性の条件下で、一意な定常測度が存在し、カンタロヴィチ＝ワッサーシュタイン距離において指数的混合性を示す。
• ハイパーエクスポネンシャル再帰推定式とノイズのモーメントバウンドを用いて、指数的緊性が確立され、LDPの有効性が保証された。
• LDPにおける圧力関数は有限かつ適切に定義されており、乗法的エルゴード定理および固有ベクトル解析により、均衡状態の一意性が示された。
• 結果は、有界領域における2次元ナビエ＝ストークス系およびH^2空間における無限大ガウス型キックを伴う複素ギンツブルグ＝ランダウ方程式に適用可能である。
• 証明は、一般化されたフェラー性およびカップリング技術に依拠しており、初期分布にかかわらず一様に定常測度への収束を保証する。