[論文レビュー] Large deviations for conservative stochastic PDE and non-equilibrium fluctuations

Benjamin Fehrman, Benjamin Gess|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 66被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、保存的で非線形なホワイトノイズを伴う非線形拡散方程式の極限的偏差率関数を、近似された確率偏微分方程式のΓ収束を証明することによって確立する。小ノイズおよび超高周波数カットオフの極限において一様な極限的偏差原理を導出し、その結果、極限の率関数がゼロレンジ過程のものと一致することを示す。また、エネルギー臨界空間における非線形性を示す退化した放物型・放物型骨格方程式の適切な定義と安定性に関する重要な進展がなされている。

ABSTRACT

The large deviations rate function for nonlinear diffusion equations with conservative, nonlinear white noise is identified by proving the $\Gamma$-convergence of rate functions to approximating stochastic PDE. In addition, a corresponding uniform large deviations principle for the joint small noise, ultra-violet cutoff limit for the approximating SPDE is obtained. The limiting rate function is shown to coincide with the rate function describing the large deviations of the zero range process from its hydrodynamic limit. The proof relies on a detailed analysis of the associated skeleton equation---a degenerate parabolic-hyperbolic PDE with irregular drift. The well-posedness and stability of this class of PDE in energy-critical spaces is the second main result of this work.

研究の動機と目的

• 保存的で非線形なホワイトノイズを伴う非線形拡散方程式の極限的偏差率関数を同定すること。
• 近似されたSPDEの小ノイズおよび超高周波数カットオフの同時極限において一様な極限的偏差原理を確立すること。
• SPDE系の極限的率関数が、その流体力学的極限におけるゼロレンジ過程のものと一致することを示すこと。
• 不規則な拡散項を有する退化した放物型・放物型PDE（骨格方程式）の適切な定義と安定性をエネルギー臨界空間で解析すること。

提案手法

• 近似された確率偏微分方程式の率関数から極限的率関数へのΓ収束を証明する。
• 極限的偏差原理から導かれる不規則な拡散項を有する退化した放物型・放物型PDEとしての骨格方程式を分析する。
• エネルギー臨界空間の技法を用いて骨格PDEの適切な定義と安定性を確立する。
• 小ノイズおよび超高周波数カットオフの同時極限を用いて、近似されたSPDEのための一様な極限的偏差原理を導出する。
• 構造的・解析的対応を通じて、極限的率関数をゼロレンジ過程の流体力学的極限と関連付ける。
• 詳細なPDE解析を活用して、確率的フラクチュエーションと非平衡統計力学の微視的ダイナミクスの間の関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 保存的SPDEの極限的偏差率関数は、ゼロレンジ過程の流体力学的極限とどのように関係しているか？
• RQ2 近似されたSPDEの小ノイズおよび超高周波数カットオフの同時極限における率関数の極限的挙動は何か？
• RQ3 不規則な拡散項を有する退化した放物型・放物型PDE（骨格方程式）がエネルギー臨界空間で適切に定義され、安定していると示せるか？
• RQ4 近似されたSPDEの率関数のΓ収束が、正しい極限的率関数をもたらすか？
• RQ5 SPDE系における非平衡フラクチュエーションは、その下位の微視的確率的ダイナミクスとどのように対応しているか？

主な発見

• 保存的で非線形なホワイトノイズを伴う非線形拡散方程式の極限的偏差率関数が、近似されたSPDEの率関数のΓ収束によって同定された。
• 近似されたSPDEの小ノイズおよび超高周波数カットオフの同時極限において、一様な極限的偏差原理が確立された。
• SPDE系の極限的率関数は、ゼロレンジ過程の流体力学的極限からの極限的偏差を記述する関数と完全に一致した。
• 不規則な拡散項を有する退化した放物型・放物型PDE（骨格方程式）が、エネルギー臨界空間で適切に定義され、安定していることが示された。
• 解析により、SPDEにおける非平衡フラクチュエーションと、相互作用粒子系のマクロな流体力学的挙動との間の関係が裏付けられた。
• 結果として、保存的で非線形な確率的系における極限的偏差を理解するための厳密なPDEベースの枠組みが提供された。