[論文レビュー] Large deviations for empirical measures generated by Gibbs measures with singular energy functionals

Paul Dupuis, Vaios Laschos+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Markov Chains and Monte Carlo Methods被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、特異なエネルギー汎関数を伴うギブズ分布に従うn粒子系の経験測度に関して、弱収束法を用いてワッサーシュタイン型位相に関して大偏差原理（LDP）を確立する。すべての速度について統一的な枠組みを提供し、bn = nの場合にエントロピー項がレート関数に現れるのを解消し、特異反発を伴う閉じ込められた粒子に関する先行研究における未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We establish large deviation principles (LDPs) for empirical measures associated with a sequence of Gibbs distributions on n-particle configurations, each of which is defined in terms of an inverse temperature bn and an energy functional that is the sum of a (possibly singular) interaction and confining potential. Under fairly general assumptions on the potentials, we establish LDPs both with speeds (bn)/(n) { extregistered} { extyen}, in which case the rate function is expressed in terms of a functional involving the potentials, and with the speed bn =n, when the rate function contains an additional entropic term. Such LDPs are motivated by questions arising in random matrix theory, sampling and simulated annealing. Our approach, which uses the weak convergence methods developed in ``A weak convergence approach to the theory of large deviations", establishes large deviation principles with respect to stronger, Wasserstein-type topologies, thus resolving an open question in "First-order global asymptotics for confined particles with singular pair repulsion". It also provides a common framework for the analysis of LDPs with all speeds, and includes cases not covered due to technical reasons in previous works.

研究の動機と目的

• 一般条件下における特異相互作用および閉じ込められるポテンシャルを伴うn粒子系の経験測度に関して、大偏差原理（LDP）を確立すること。
• 特異的2体反発を伴う閉じ込められた粒子におけるワッサーシュタイン型位相に関するLDPに関する未解決問題を解消すること。
• すべての速度について統一的な枠組みを提供し、臨界ケースbn = nを含むこと。
• 速度がbn = nのとき、レート関数にエントロピー項を組み込むことにより、先行研究を拡張すること。
• 物理的および統計力学的文脈を動機として、ランダム行列理論、サンプリング、シミュレーテッド・アニーリングの問題への応用を提供すること。

提案手法

• 大偏差理論における弱収束法を用い、より強いワッサーシュタイン型位相に関してLDPを導出する。
• 逆温度bnと、特異的相互作用および閉じ込められるポテンシャルを組み合わせたエネルギー汎関数によって定義されるギブズ測度を分析する。
• 2つのレギームでレート関数を導出する：速度(bn)/nでは、レート関数はポテンシャルに依存するがエントロピー項を含まない。速度bn = nでは、追加のエントロピー項が現れる。
• 変分的アプローチを用いて、ポテンシャルとエントロピーを含む自由エネルギー汎関数の観点からレート関数を特徴付ける。
• ポテンシャルに特異性を含むが、先行研究が制限を課していた技術的制約なしに、一般仮定のもとで収束を確立する。
• この枠組みを用いて、特異的相互作用を伴う粒子系におけるLDPの先行結果を統一的かつ拡張的に扱う。特に、閉じ込められた粒子の第一階全般的漸近解析の文脈において顕著である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般ポテンシャル仮定のもとで、特異エネルギー汎関数を伴うn粒子系の経験測度に関して、どのような大偏差原理が支配的か？
• RQ2 速度が(bn)/nとbn = nのとき、特にエントロピー項の出現を考慮して、レート関数はどのように変化するか？
• RQ3 特異的ギブズ系に対して、ワッサーシュタイン型距離のようなより強い位相に関してLDPを確立できるか？
• RQ4 閉じ込められるポテンシャルと特異的相互作用が、経験測度の大偏差挙動に果たす役割は何か？
• RQ5 弱収束アプローチをどのように活用して、特異的相互作用を伴う粒子系における既存のLDP結果を統一的かつ拡張的に扱えるか？

主な発見

• 本稿は、ワッサーシュタイン型位相に関して経験測度のための大偏差原理を確立し、特異反発を伴う閉じ込められた粒子の解析における未解決問題を解消する。
• 速度が(bn)/nの場合、レート関数はエントロピー項を含まず、相互作用および閉じ込められるポテンシャルの関数として表現される。
• 速度がbn = nの場合、レート関数には追加のエントロピー項が含まれており、系の統計的フラクチュエーションを反映している。
• 本枠組みは、特異的相互作用を含む広範なポテンシャルのクラスに適用可能であり、先行研究が制限を課していた技術的制約なしに適用可能である。
• 結果は、すべての速度におけるLDPの分析のための共通の理論的基盤を提供し、これまで散在的であったアプローチを統一する。
• 本アプローチは、ランダム行列理論、サンプリング、シミュレーテッド・アニーリングへの応用へと拡張可能であり、これらの設定におけるきめ細やかな大偏差記述を提供する。