[論文レビュー] Large deviations for empirical path measures in cycles of integer partitions

Stefan Adams|ArXiv.org|Feb 2, 2007

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$N$ 個のブラウン運動が $\mathbb{R}^d$ 上に存在し、初期・終端条件が対称化された系における経路測度の経験的測度に対して、大偏差原理を確立する。経路はランダムな置換によって結びつけられている。主な結果は、$N \to \infty$ の極限において、相転移が発生することを示している：$d \geq 3$ において高密度または長い時間スケールの下では、正の割合の経路が無限長のサイクルを形成する。これは、ボーズ＝アインシュタイン凝縮の経路測度版と解釈される。

ABSTRACT

Consider a large system of $N$ Brownian motions in $\mathbb{R}^d$ on some fixed time interval $[0,β]$ with symmetrised initial-terminal condition. That is, for any $i$, the terminal location of the $i$-th motion is affixed to the initial point of the $σ(i)$-th motion, where $σ$ is a uniformly distributed random permutation of $1,...,N$. In this paper, we describe the large-N behaviour of the empirical path measure (the mean of the Dirac measures in the $N$ paths) when $ Λ\uparrow\mathbb{R}^d $ and $ N/|Λ| oρ$. The rate function is given as a variational formula involving a certain entropy functional and a Fenchel-Legendre transform. Depending on the dimension and the density $ ρ$, there is phase transition behaviour for the empirical path measure. For certain parameters (high density, large time horizon) and dimensions $ d\ge 3 $ the empirical path measure is not supported on all paths $ [0,\infty) o\mathbb{R}^d $ which contain a bridge path of any finite multiple of the time horizon $ [0,β] $. For dimensions $ d=1,2 $, and for small densities and small time horizon $ [0,β] $ in dimensions $ d\ge 3$, the empirical path measure is supported on those paths. In the first regime a finite fraction of the motions lives in cycles of infinite length. We outline that this transition leads to an empirical path measure interpretation of {\it Bose-Einstein condensation}, known for systems of Bosons.

研究の動機と目的

• $\ mathbb{R}^d$ 上の $N$ 個のブラウン運動の系における、初期・終端条件が対称化された場合の経験的経路測度の $N$ が大きいときの挙動を分析すること。
• $N \to \infty$ および $\Lambda_N \uparrow \mathbb{R}^d$ の下で、経験的経路測度に対する大偏差原理を導出すること。ただし $N/|\Lambda_N| \to \rho$ とする。
• 次元 $d$、密度 $\rho$、時間スケール $\beta$ に応じて、経験的経路測度に現れる相転移の挙動を特定すること。
• 系に無限長のサイクルが出現する現象と、量子統計力学におけるボーズ粒子系のボーズ＝アインシュタイン凝縮との関係を明らかにすること。
• エントロピーとフェンヒェル＝レジェンドル変換を含む変分公式を通じて、整数分割の離散的形状測度と関連したレート関数を表現すること。

提案手法

• すべての置換 $\sigma \in \mathfrak{S}_N$ および初期位置 $x_i \in \Lambda_N$ の平均として定義される対称化測度 $\mathbb{P}_N^{\rm sym}$ を導入し、経路が置換された終点に戻ることを制約する。
• 系内の経路の平均分布を表す経験的経路測度 $L_N = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \delta_{B^{(i)}}$ を構築する。
• $N/|\Lambda_N| \to \rho$ のスケーリングの下で $L_N$ に大偏差理論を適用し、変分公式によるレート関数を導出する。
• レート関数を、整数分割の離散的形状測度を支配するエントロピー項と、自由エネルギー関数のフェンヒェル＝レジェンドル変換の和として表現する。
• フェインマン＝カック表現を用いて、経路測度をボーズ粒子の量子統計力学、特に正準分配関数と関連付ける。
• 経路の端点によって誘導される置換のサイクル構造を分析し、運動量空間における低運動量状態の巨視的占有と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 展開するボックス $\Lambda_N \subset \mathbb{R}^d$ に閉じ込められ、固定された粒子密度 $\rho$ を持つ系において、$N$ が大きい極限での経験的経路測度はどのように振る舞うか？
• RQ2 次元 $d$、密度 $\rho$、時間スケール $\beta$ のどの条件下で、経験的経路測度に相転移が現れるか？
• RQ3 経路系に無限長のサイクルが出現する現象と、ボーズ粒子系の量子系におけるボーズ＝アインシュタイン凝縮との関係は何か？
• RQ4 経験的経路測度のレート関数は、エントロピーと自由エネルギーの成分にどのように分解されるか？
• RQ5 整数分割の離散的形状測度は、系のサイクル構造の $N$ が大きいときの挙動をどのように支配するか？

主な発見

• $d \geq 3$ および高密度または長い時間スケール $\beta$ の下で、経験的経路測度はすべての経路に支持されず、正の割合の経路が無限長のサイクルを形成する。
• $d = 1,2$ および $d \geq 3$ で $\rho$ が小さく、$\beta$ が小さい場合、経験的経路測度はすべての経路に支持され、巨視的サイクルは存在しない。
• 無限長のサイクルの出現は、ボーズ粒子系におけるボーズ＝アインシュタイン凝縮に類似した相転移に対応する。
• 経験的経路測度のレート関数は、整数分割の離散的形状測度のエントロピーとフェンヒェル＝レジェンドル変換の変分公式として表現される。
• 経路の端点によって誘導されるランダム置換 $\sigma$ のサイクル構造は、運動量空間におけるゼロ運動量状態の巨視的占有と直接的に関連している。
• 相転移の臨界閾値は、次元 $d$、密度 $\rho$、時間スケール $\beta$ に依存し、系の自由エネルギーが長サイクルを有利にするときに相転移が発生する。