[論文レビュー] Large deviations for functions of two random projection matrices

Fumio Hiai, D. Petz|ArXiv.org|Apr 21, 2005

Random Matrices and Applications参考文献 11被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、行列サイズNが無限大に近づく際、2つの独立でユニタリ不変なランダム射影行列の多項式の経験的固有値分布に対して、大偏差原理を確立する。C*-代数の枠組みを用いて、ペア (P(N), Q(N)) が誘導する確率的トレース状態が、2つの自己随伴射影から生成される普遍C*-代数のトレース状態空間上で大偏差原理を満たすことを示し、そのレート関数はボイクレツクの自由射影における自由エントロピーと関連している。

ABSTRACT

In this paper two independent and unitarily invariant projection matrices P(N) and Q(N) are considered and the large deviation is proven for the eigenvalue density of all polynomials of them as the matrix size $N$ converges to infinity. The result is formulated on the tracial state space $TS({\cal A})$ of the universal $C^*$-algebra ${\cal A}$ generated by two selfadjoint projections. The random pair $(P(N),Q(N))$ determines a random tracial state $τ_N \in TS({\cal A})$ and $τ_N$ satisfies the large deviation. The rate function is in close connection with Voiculescu's free entropy defined for pairs of projections.

研究の動機と目的

• N → ∞ のとき、2つの独立でユニタリ不変なランダム射影行列の多項式の経験的固有値分布に対する大偏差原理を確立すること。
• 2つの自己随伴射影から生成される普遍C*-代数のトレース状態空間の文脈において、大偏差結果を定式化すること。
• W*-確率空間における自由射影のペアに対するボイクレツクの自由エントロピーと関連づけた、大偏差原理のレート関数を特定すること。
• 線形結合やユニタリ関数を含む特定の関数について、縮約原理を用いてレート関数の明示的計算を提供すること。

提案手法

• 論文は、P(N)QP(N) の同時固有値分布を用い、ジャコビ分布と関連付けることで、経験的固有値密度に対する大偏差を導出する。
• P(N) と Q(N) をそれぞれ ψ(e) = P(N), ψ(f) = Q(N) として定義される *-準同型 ψ: A → M_N(ℂ) のトレースを用いて、ランダムトレース状態 τ_N ∈ TS(A) を導入する。
• GNS構成を用いてレート関数を自由エントロピーと関連づけ、スケーリング 1/N² でトレース状態空間 TS(A) 上に大偏差原理を確立する。
• レート関数 I(τ) は、τ のGNS表現における自由射影 p, q に対するボイクレツクの自由エントロピー χ(p,q) の負の値として特定される。
• 特定の関数（線形結合やユニタリ関数など）について、縮約原理を適用してレート関数を導出する。
• 線形結合やユニタリ関数について、スペクトル測度上の積分と単位円上の対数ポテンシャル理論を用いて、レート関数の明示的表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの独立なランダム射影行列の多項式の経験的固有値分布は、大N極限においてどのように振る舞うか？
• RQ2 2つの独立でユニタリ不変な射影行列が誘導する確率的トレース状態のための大偏差レート関数は何か？
• RQ3 レート関数は、W*-確率空間における自由射影のペアに対するボイクレツクの自由エントロピーとどのように関連しているか？
• RQ4 aP(N) + bQ(N) や P(N)Q(N) + Q(N)P(N) のような特定の関数について、大偏差原理を明示的に計算できるか？
• RQ5 レート関数の最小化子は何か？また、自由射影の関数の漸近的分布とどのように関係しているか？

主な発見

• 2つの独立でユニタリ不変な射影行列 P(N) と Q(N) が誘導する確率的トレース状態 τ_N に対して、スケーリング 1/N² で大偏差原理が成立する。
• レート関数 I(τ) は、τ のGNS表現における自由射影 p, q に対するボイクレツクの自由エントロピー χ(p,q) の負の値に等しい。
• 関数 aP(N) + bQ(N) については、縮約原理を用いてレート関数が導出され、自由和射影のスペクトル測度を用いて明示的に計算可能である。
• ユニタリ関数 u = e^{iπP(N)}e^{-iπQ(N)} については、対数ポテンシャルと単位円上の測度を含む積分表現でレート関数が与えられ、α = β = 1/2 のとき最小化子はトーラス上の一様測度である。
• u のレート関数の最小化子は α = β = 1/2 のとき 𝕋 上の一様分布であるが、一方で e^{iπ(p−q)} の分布はアークサイン則を示し、2つの関数の間には根本的な違いが存在する。
• パrameters α と β が定める原子的および連続的構造と一致しないスペクトル測度に対しては、レート関数は無限大となり、厳密なサポート条件が保証される。