[論文レビュー] Large deviations for level sets of branching Brownian motion and Gaussian free fields

Élie Aïdékon, Yueyun Hu+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、分岐 Browm運動および2次元離散ガウス自由場における高位置粒子数の大偏差確率を確立し、DerridaとShiの予想を確認する。非一様ガルトン＝ウォーソン過程に対する不等式を用いて、粒子数がレベル $xt$ よりも大きい確率の指数的減衰の正確なレート関数 $ I(a,x) = \frac{x^2}{2(1-a)} - 1 $ を導出する。両モデルに対して鋭い漸近的評価が得られる。

ABSTRACT

We study deviation probabilities for the number of high positioned particles in branching Brownian motion, and confirm a conjecture of Derrida and Shi (2016). We also solve the corresponding problem for the two-dimensional discrete Gaussian free field. Our method relies on an elementary inequality for inhomogeneous Galton-Watson processes.

研究の動機と目的

• 高レベル $xt$ よりも高い粒子数に関する分岐 Browm運動（BBM）における大偏差に関するDerridaとShiの予想を解明すること。
• 2次元離散ガウス自由場（GFF）に対しても大偏差解析を拡張し、類似する漸近的挙動を確立すること。
• 非一様ガルトン＝ウォーソン過程に対する新規不等式を構築・適用し、非マルコフ的分岐系における尾確率を制御すること。
• 高次元空間領域における粒子数が通常の揺らぎを上回るというレアイベントの減衰レートに対して鋭い漸近的評価を提供すること。

提案手法

• 時間に依存する再生法則をもつ非一様ガルトン＝ウォーソン過程に対する重要な不等式を、サブガウス条件の下でのモーメント母関数を用いて導出する。
• 粒子数を世代ごとにモデル化した分岐過程としてBBMに不等式を適用し、時間変動する平均再生をもつ。
• 指数的チフトとチェルノフ型の境界を用いて、粒子数が高閾値を超える尾確率を制御する。
• 2次元ガウス自由場に対しては、分岐ランダムウォーク近似を通じてレベル集合を分岐過程と関連づけ、手法を適応する。
• 高確率事象への適切な条件付き期待値を用いた2次モーメント法により、稀な構成の確率に対する下界を確立する。
• 空間およびレベル集合のダイアディック分解を導入し、相関を制御し、GFFの場合にガウス尾の推定を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分岐 Browm運動における粒子数が高レベル $xt$ を超過する確率の正確な大偏差レートは何か？
• RQ2 予想されたレート関数 $ I(a,x) = \frac{x^2}{2(1-a)} - 1 $ は、そのような確率の指数的減衰を正しく記述するか？
• RQ3 2次元離散ガウス自由場に対しても、同様の大偏差原理を確立できるか？
• RQ4 粒子除去ルール（N-BBM）の存在が、右端粒子の大偏差挙動に与える影響は何か？
• RQ5 N-BBMが高レベル $xt$ を超過する確率の正確な対数的減衰レートは何か？

主な発見

• 本稿はDerridaとShiの予想を確認した：$ x > 0 $ および $ \left(1 - \frac{x^2}{2}\right)^+ < a < 1 $ に対して、大偏差レートは $ \lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} \log \mathbb{P}(N(t,x) \geq e^{at}) = -I(a,x) $ であり、$ I(a,x) = \frac{x^2}{2(1-a)} - 1 $ である。
• N-BBMモデルに対して、上界 $ \limsup_{N \to \infty} \frac{\log[\psi_N(x) - \psi(x)]}{\log N} \leq -\left(\frac{x^2}{2} - 1\right) $ を確立し、予想される等式を支持する。
• 2次元ガウス自由場において、漸近的尾確率 $ \mathbb{P}(\max_x \Phi(x) \geq 2\gamma b \log N) = N^{2(1 - b^2) + o(1)} $ を導出し、$ b > 1 $ の場合にBBMの結果と形式的に一致する。
• 2次モーメント法と高確率事象への条件付き期待値を組み合わせることで、$ \mathbb{E}(Z^2) \leq N^{2\varepsilon} \mathbb{E}(Z) $ が得られ、$ \mathbb{P}(Z \geq 1) \geq N^{-2\varepsilon} \mathbb{E}(Z) $ が導かれる。これにより、GFFの場合の下界が確認される。
• 非一様ガルトン＝ウォーソン過程に対する導出された不等式により、時間に依存する再生法則のもとでの指数的モーメントの制御が可能となり、核心的な技術的道具となる。
• 本手法は粒子系（BBM）およびガウス場（GFF）の両方を適切に扱い、分岐過程とガウス場における極値の間の深い関係を示している。