[論文レビュー] Large Deviations for Past-Dependent Recursions

Fima C. Klebaner, R. Liptser|ArXiv.org|Mar 16, 2006

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 9被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、小さなノイズを伴う非マルコフ的かつ過去依存的な確率的再帰関係について、ノイズ過程からの連続写像による縮約原理を用いて、大偏差原理（LDP）を確立する。主な貢献は、パスワイズLDPの明示的なレート関数と、マルコフの場合の区間からの抜出自時刻の漸近的表現であり、ノイズ分布に対するCramér型の条件のもとで導出される。

ABSTRACT

The Large Deviation Principle is established for stochastic models defined by past-dependent non linear recursions with small noise. In the Markov case we use the result to obtain an explicit expression for the asymptotics of exit time.

研究の動機と目的

• 一般の過去依存的非線形確率的再帰関係に対して、小さなノイズのもとでの大偏差原理（LDP）を確立すること。
• 無限列の空間におけるρ距離に関して、パスワイズLDPを支配する明示的なレート関数の表現を導出すること。
• マルコフの場合（m=1）における有界区間からの抜出自時刻の漸近的挙動を分析すること、特に[-1,1]からの抜出自時刻について。
• LDPが成立することを保証するノイズ分布に関する十分条件（Cramérの条件およびモーメント母関数のスケーリング）を提供すること。

提案手法

• 再帰関数fによって定義される連続写像を介して、i.i.d. ノイズ列(εξk)から解のパス(Xkε)へのLDPを縮約原理（Varadhanの方法）により転送する。
• Dawson-Gärtner定理を用いて、有限次元射影からのLDPを無限次元パス空間（R∞, ρ）へ拡張する。
• レート関数J∞(ū)を、uk = f(uk−1, ..., uk−m, vk)を満たすようなノイズ増分vkの下でのinfimumの和として定義し、初期条件と整合性を保証する。
• ノイズ族εξに対してLDPが成立するための条件(A.1)–(A.3)を確立する。これにはCramérの条件と、モーメント母関数H(t)のスケーリング挙動が含まれる。
• 時不変性とマルコフ性を活用して、生存確率P(maxk≤Mn |Xkε| < 1)の再帰的評価を行い、nに関して幾何的減少を導出する。
• 再帰関係と幾何級数の評価を用いて、期待抜出自時刻と最初の通過確率P0(max1≤k≤M |Xkε| ≥ 1)を関連づけ、漸近的解析を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解の族(Xkε)k≥m が空間(R∞, ρ)で大偏差原理（LDP）を満たすための条件は何か？
• RQ2 過去依存的非線形再帰関係のパスワイズLDPにおけるレート関数J∞(ū)の明示的形は何か？
• RQ3 マルコフの場合における区間[-1,1]からの抜⾃時刻τεのε → 0における漸近的挙動はどのように振る舞うか？
• RQ4 モーメント母関数H(t)のスケーリングが、ノイズ過程のレート関数I(v)を決定する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 族(Xkε)k≥m は空間(R∞, ρ)で、J∞(ū) = ∑k=m∞ inf{vk : uk = f(uk−1, ..., uk−m, vk)} I(vk) で与えられるレート関数をもってLDPを満たす。ここでI(v)はモーメント母関数のスケーリングされたFenchel-Legendre変換である。
• マルコフの場合（m=1）において、期待抜⾃時刻の漸近的挙動は、limε→0 ε² log E[τε] = −(1/2)(1 − a²) で特徴づけられる。ここでaは線形モデルにおける自己回帰係数である。
• ノイズ列(εξk)のLDPは、条件(A.1)–(A.3)のもとで成立する。これにはCramérの条件と、I(v) = limε→0 q(ε)L(v/ε) が正しく定義され、コンパクトなレベル集合を持つようなH(t)の適切なスケーリングが含まれる。
• 確率P(max1≤k≤M |Xkε| ≥ 1)はε → 0の下で指数的に減少し、その対数的漸近的挙動が生存確率の幾何的減少に基づいて期待抜⾃時刻を評価するために用いられる。
• 再帰関係P(τε > Mn) ≤ [1 − P0(max1≤k≤M |Xkε| ≥ 1)]ⁿ により幾何級数の評価が得られ、これにより抜⾃時刻の漸近的挙動が導出可能となる。
• 2006年に、元の抜⾃時刻の漸近的挙動に見過ごされていた誤りが発覚したため、定理2.2の修正版が発表された。これは結果が精密な確率的評価に極めて敏感であることを示唆している。