[論文レビュー] Large Deviations for Random Spectral Measures and Sum Rules

Fabrice Gamboa, Alain Rouault|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2008

Random Matrices and Applications参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、GUEおよびその$β$-エンsembles拡張、ならびにラグエールおよびヤコビ・エンsemblesに関連する確率的スペクトル測度のための大偏差原理（LDP）を確立する。レート関数は、絶対連続部（半円分布またはマルチェンコ＝パストール分布に対する）の逆カルバック情報項と、極値固有値統計に結びつく特異部から構成され、ユニタリ行列モデルからヘルミート行列モデルへと和則技術を一般化する。

ABSTRACT

We prove a Large Deviation Principle for the random spec- tral measure associated to the pair $(H_N; e)$ where $H_N$ is sampled in the GUE(N) and e is a fixed unit vector (and more generally in the $\\beta$- extension of this model). The rate function consists of two parts. The contribution of the absolutely continuous part of the measure is the reversed Kullback information with respect to the semicircle distribution and the contribution of the singular part is connected to the rate function of the extreme eigenvalue in the GUE. This method is also applied to the Laguerre and Jacobi ensembles, but in thoses cases the expression of the rate function is not so explicit.

研究の動機と目的

• GUE行列$H_N$と固定された単位ベクトル$e$のペア$(H_N, e)$のスペクトル測度のための大偏差原理（LDP）を確立すること。
• ユニタリの場合を一般化して、$β$-ヘルミート、$β$-ラグエール、$β$-ヤコビ・エンsemblesへのLDPを拡張すること。
• レート関数を二つの成分の和として表現すること：絶対連続部に対する逆カルバック情報と、極値固有値行動に関連する項。
• スペクトル測度のLDPと和則（特に直交多項式およびベルブンスキー係数の文脈）との関係を調査すること。
• 経験的固有値分布を超えた重み付きスペクトル測度の漸近的挙動を理解するための枠組みを提供すること。

提案手法

• GUE行列と固定ベクトル$e$に関連するスペクトル測度$µ_w^{(N)} = \sum_{k=1}^N \pi_k \delta_{\lambda_k}$のLDPを、$H_N$の三重対角化によって導出する。
• GUE下で重み$\pi_k = |\langle \psi_k, e \rangle|^2$がディリクレ分布に従うという事実を用い、レート関数の明示的計算を可能にする。
• 標準モーメント（ベルブンスキー係数）とツェゴの公式を用いて、スペクトル測度と和則を関係づけ、レート関数の導出に不可欠な役割を果たす。
• $β$-エンsemblesに対しては、固有値と重みの連合分布を用い、Dufresne-Sheppの公式および$β$-ヘルミート・エンsembleの既知の同時密度を活用してLDPを拡張する。
• レート関数を、極限半円分布に対する逆カルバック情報の和と、極値固有値のレート関数からの補正項の和として表現する。
• ラグエールおよびヤコビ・エンセムブルに対しては、一般和則が未知であるため、レート関数は暗黙的であるが、構造は類似している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GUE・エンセムブルの重み付きスペクトル測度$\mu_w^{(N)}$は、速度$N$で大偏差原理を満たすか？
• RQ2 GUEの場合のスペクトル測度のレート関数は、逆カルバック情報項と極値固有値に関連する項に分解可能か？
• RQ3 $β$-ヘルミート・エンセムブルにおけるスペクトル測度のLDPは、古典的GUEの場合とどのように異なるか？また、$β$の役割は何か？
• RQ4 和則（例：ツェゴの公式）を用いて、確率的行列エンセムブルにおけるスペクトル測度のレート関数を導出することはどの程度可能か？
• RQ5 レート関数が明示的に計算できないとしても、$β$-ラグエールおよび$β$-ヤコビ・エンセムブルへのLDPおよびレート関数の構造を一般化することは可能か？

主な発見

• GUE・エンセムブルのスペクトル測度$\mu_w^{(N)}$は、速度$N$でLDPに従い、レート関数は半円分布に対する逆カルバック情報と、最大固有値のレート関数に関連する項の和として与えられる。
• $β$-ヘルミート・エンセムブルにおいても、レート関数は同じ構造を保ち、半円分布に対する逆カルバック情報に加え、極値固有値統計からの補正項が加わる。
• ラグエールおよびヤコビ・エンセムブルでは、LDPは成立するが、一般和則が存在しないため、レート関数は明示的に不明であるが、関数的形態は類似している。
• ベルブンスキー係数とツェゴの公式を用いる手法により、標準モーメントから測度の空間へのLDPがうまく持ち上げられ、レート関数を構成的に導出する方法が得られる。
• GUEの場合のスペクトル測度のレート関数は、明示的に$ I(\nu) = \mathcal{K}(SC \,||\, \nu) + \mathcal{F}_{\text{extreme}}(\lambda_{\max}) $として計算可能であり、ここで$\mathcal{K}$は逆カルバック発散度を表す。
• 本論文は、パラメータ$\kappa_1 N, \kappa_2 N$を有するヤコビ・エンセムブルに対して、レート関数が$ I(\nu) = \mathcal{K}(KMK \,||\, \nu) + \sum_j \mathcal{F}_J(E_j^\pm) $であると予想している。これは和則構造を一般化するものである。