[論文レビュー] Large deviations for some corner growth models with inhomogeneity

Elnur Emrah, Christopher Janjigian|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2015

Random Matrices and Applications参考文献 17被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、ランダムな行および列パラメータに依存する指数分布的重みを有する非一様なコーナー成長モデルについて、大偏差原理を確立する。クエンチドおよびアンネールド設定における右裾のレート関数に対して、取り扱いやすい変分表現を導出し、KPZ型のフラクチュエーションと整合する形状関数近傍での展開を提供する。

ABSTRACT

We study an inhomogeneous generalization of the classical corner growth in which the weights are exponentially distributed with random parameters. Our main interest is in the quenched and annealed large deviation properties of the last passage times. We derive variational representations of the rate functions for right tail large deviations. The quenched rate function can be computed explicitly for certain choices of the parameter distributions. We present a mechanism for rate n left tail annealed large deviations. In the quenched model these deviations have rate strictly greater than n. The annealed right tail rate function is connected to the quenched rate function through a variational problem involving relative entropy. We identify the speed at which the rate functions decay to zero near the shape function.

研究の動機と目的

• 非一様な指数的重みを有するコーナー成長モデルにおける最終通過時間の大偏差特性を分析すること。
• クエンチドおよびアンネールド設定における右裾のレート関数に対して、取り扱いやすい変分表現を導出すること。
• 左裾のレート関数を推定し、形状関数近傍のフラクチュエーションを分析すること。
• 形状関数近傍での展開を計算することにより、レート関数をKPZ普遍性に関連付けること。
• i.i.d. モデルから得られている既知の結果を、ランダムな行および列パラメータを有する非一様設定へと拡張すること。

提案手法

• 重みを、$\mathbf{a}$ および $\mathbf{b}$ がゼロから離れた一様に有界な独立同分布の列であるとき、$(a_i + b_j)^{-1}$ を平均とする独立な指数分布確率変数としてモデル化する。
• パrameter $\mathbf{a}$ および $\mathbf{b}$ を条件付きに処理するか、それらを平均化することにより、クエンチドおよびアンネールド測度を定義する。
• 部分加法的エルゴード理論を用いて、$n^{-1}G(\lfloor ns\rfloor, \lfloor nt\rfloor)$ が確率的極限に almost surely 収束することを確立する。
• 累積生成関数のLegendre-Fenchel変換を用いて、右裾のレート関数の変分表現を導出する。
• Hölderの不等式および単調性の議論を用いて、$(s,t)$ におけるレート関数の凸性および斉次性を証明する。
• スケーリングおよび近似の議論を用いて、有理数 $s,t > 0$ から実数 $s,t > 0$ への結果の拡張を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クエンチドおよびアンネールド測度下で、非一様なコーナー成長モデルにおける最終通過時間の大偏差レート関数は何か？
• RQ2 レート関数は形状関数近傍でどのように振る舞い、KPZ型フラクチュエーションスケーリングを示すか？
• RQ3 累積生成関数 $\mathbf{L}_{s,t}(\lambda)$ および $\mathbb{L}_{s,t}(\lambda)$ の漸近的挙動は何か？
• RQ4 クエンチドおよびアンネールド設定におけるレート関数の違いは何か？また、非一様性はどのような役割を果たすか？
• RQ5 左裾の大偏差を推定できるか？また、右裾の挙動と比較するとどうなるか？

主な発見

• クエンチド設定における右裾の大偏差レート関数は、重みの累積生成関数を含む変分公式として与えられる。
• アンネールド設定では、レート関数も変分的であり、パrameter $\mathbf{a}$ および $\mathbf{b}$ の期待値として表現できる。
• 形状関数近傍でのレート関数の展開は、$n^{1/3}$ スケールのフラクチュエーションと整合しており、KPZ型の挙動を示している。
• 累積生成関数 $\mathbf{L}_{s,t}(\lambda)$ および $\mathbb{L}_{s,t}(\lambda)$ は almost surely 収束し、$\lambda$ に関して凸かつ非減少である。
• 関数 $\lambda \mapsto \lambda \mathbf{L}_{s,t}(\lambda)$ および $\lambda \mapsto \lambda \mathbb{L}_{s,t}(\lambda)$ は $(s,t)$ において斉次かつ凹関数である。
• 速度 $n$ における大偏差原理が成り立ち、レート関数は部分加法的エルゴード理論およびスケーリング極限によって特徴づけられる。