[論文レビュー] Large Deviations for the Empirical Distribution in the General Branching Random Walk

Oren Louidor, Eliad Tsairi|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、最小限のモーメントおよびサポートの仮定の下で、一般の分岐ランダムウォークにおける経験的分布の大偏差原理を確立する。確率が集合内の粒子の割合における大偏差を示す場合、その確率は二重指数的（doubly exponential）に減少し、その速度は $ n $ または $ \sqrt{n} $ に比例する。これは、集合および偏差の大きさに依存する。各スケーリング領域に対し、正確なレート関数 $ I(A,p) $ および $ J(A,p) $ が導出される。

ABSTRACT

We consider the general branching random walk under minimal assumptions, which in particular guarantee that the empirical particle distribution admits an almost sure central limit theorem. For such a process, we study the large time decay of the probability that the fraction of particles in a typical set deviates from its typical value. We show that such probabilities decay doubly exponentially with speed which is either linear in or the square root of the number of generations, depending on the set and the magnitude of the deviation. We also find the rate of decay in each case.

研究の動機と目的

• 一般の分岐ランダムウォークにおける粒子の経験的分布がその典型的値から逸脱する確率の時間的漸近的減衰を研究すること。
• 独立な移動の仮定を超えて、依存的な増殖を伴う一般の場合に既存の大偏差結果を拡張すること。
• 最小限のモーメントおよびサポート条件の下で、このような逸脱の減衰速度およびレート関数を特徴づけること。
• 減衰が二重指数的であり、その速度が集合および偏差の大きさに応じて $ n $ または $ \sqrt{n} $ に比例することを確立すること。
• 二つの異なる減衰領域に対応する明示的なレート関数 $ I(A,p) $ および $ J(A,p) $ を導出すること。

提案手法

• i.i.d. の子孫分布を用いた再帰的点測度ダイナミクスを用いて、一般の分岐ランダムウォークを形式化する。
• 最小限の仮定 (A1)–(A5) を課す：可積分性、平均ゼロの移動、有界な対数モーメント、離散的サポート、非退化性。
• 経験的測度 $ \bar{Z}_n = Z_n / |Z_n| $ を定義し、$ p > \nu(A) $ のもとで $ \mathbb{P}(\bar{Z}_n(\sqrt{n}A) \geq p) $ を研究する。
• 速度 $ \sqrt{n} $ および $ n $ に対応するレート関数 $ I(A,p) $ および $ J(A,p) $ を導入する。
• 指数的チフトおよび経路構築を含む大偏差技法を用いて、粒子数および位置分布の上界を導出する。
• 成長および平均位置が制御された extremal 流量 $ \zeta_n \in \mathcal{Z}_n(b) $ を構築し、逸脱確率の下界を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の分岐ランダムウォークにおける粒子の経験的分布がその典型的値から逸脱する確率の漸近的減衰速度は何か？
• RQ2 減衰速度は集合 $ A $ および逸脱レベル $ p > \nu(A) $ にどのように依存するか？
• RQ3 どのような条件下で減衰が $ \sqrt{n} $ と $ n $ の速度を示し、その区別は何かを決定するか？
• RQ4 各スケーリング領域において二重指数的減衰を支配する正確なレート関数 $ I(A,p) $ および $ J(A,p) $ は何か？
• RQ5 独立な移動モデルを超えて、依存的増殖を伴う一般の場合に結果を拡張できるか？

主な発見

• 確率 $ \mathbb{P}(\bar{Z}_n(\sqrt{n}A) \geq p) $ は $ n \to \infty $ のとき、二重指数的に減少し、その速度は $ A $ および $ p $ に応じて $ \sqrt{n} $ または $ n $ に比例する。
• $ \nu(A) < p < 1 $ を満たす集合 $ A $ および逸脱 $ p $ に対して、速度が $ \sqrt{n} $ の場合はレート関数 $ I(A,p) $ が支配的であり、速度が $ n $ の場合は $ J(A,p) $ が支配的である。
• レート関数 $ I(A,p) $ は、粒子数およびその空間的広がりにおけるレアフラクチュエーションによって引き起こされる逸脱に対応する。
• レート関数 $ J(A,p) $ は、増殖率 $ b $ のレアフラクチュエーションによって支配される状況から生じる。ここで $ \alpha^+ $ および $ \alpha^- $ は、粒子高さの最大成長および減衰速度を決定する。
• 証明により $ \alpha^\pm_n \uparrow \alpha^\pm \in (0, r_0] $ が示され、仮定のもとで極値成長率の存在が保証される。
• 成長および位置が制御された extremal 流量 $ \zeta_n \in \mathcal{Z}_n(b) $ が $ |\zeta_n| \approx e^{bn} $ および $ \langle \bar{\zeta}_n, x \rangle \approx n \cdot \beta^{-1}(b_1 - b) $ を満たすように構築されることにより、このような稀な経路が存在することを確認する。