[論文レビュー] Large deviations for the largest eigenvalue of an Hermitian Brownian motion

Catherine Donati-Martin, Mylène Maïda|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2011

Random Matrices and Applications参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、確率的微分積分学およびDyson Brownian motionを用いた変分的アプローチにより、ヘルミート型ブラウン運動の最大固有値過程における大偏差原理（LDP）を確立する。主な結果は、稀なゆらぎにおける最大固有値の確率の指数的減衰を特徴付ける良好なレート関数であり、これは縮約により既知の静的LDPを回復する。

ABSTRACT

We establish a large deviation principle for the process of the largest eigenvalue of an Hermitian Brownian motion. By a contraction principle, we recover the LDP for the largest eigenvalue of a rank one deformation of the GUE.

研究の動機と目的

• ヘルミート型ブラウン運動の最大固有値における動的（時間発展を伴う）大偏差原理（LDP）を確立し、静的結果を時間発展系に拡張すること。
• スケール $N$ における最大固有値過程のLDPのレート関数を、縮約原理および変分法を用いて導出すること。
• ランク1の摂動を加えたGUEの固定時刻における既知のLDPを、動的LDPの縮約として回復すること。
• 稀イベント下での最大固有値の最適経路を特徴付け、自由状態と壁に接触する状態の2つの状況を区別すること。

提案手法

• 固有値に反発的なドリフトを持つSDE系としてDyson Brownian motionを定式化する。
• 過程 $ (\lambda_1^{\theta,N}(t))_{t \in [0,1]} $ を、ランク1の摂動を加えたヘリトミート型ブラウン運動の最大固有値として定義する。
• スペクトル測度のLDPから、最大固有値過程のLDPを縮約原理を用いて導出する。
• 変分法を用いて、絶対連続な経路 $ \varphi $ に対して $ \varphi(t) \geq 2\sqrt{t} $ を満たすものについて、作用関数を最小化することでレート関数 $ I_\theta(\varphi) $ を計算する。
• Euler-Lagrange方程式を用いて最適経路を同定し、半円法則の境界 $ 2\sqrt{t} $ との比較を通じて、経路が壁に接触するか否かのケースを区別する。
• レート関数が $ \varphi(t) \geq 2\sqrt{t} $ を満たす経路でのみ有限であり、それ以外では無限大のコストがかかると証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スケール $N$ におけるヘルミート型ブラウン運動の最大固有値過程のための大偏差レート関数は何か？
• RQ2 特に半円法則境界 $ 2\sqrt{t} $ との関係において、稀なゆらぎ下での最大固有値の最適経路はどのように振る舞うか？
• RQ3 既知のランク1摂動GUEの最大固有値における静的LDPは、動的LDPの縮約として回復可能か？
• RQ4 最大固有値の最適経路が壁 $ 2\sqrt{t} $ に接触する条件は何か、接触しない条件は何か？
• RQ5 最大固有値過程の明示的レート関数は何か？また、初期摂動 $ \theta $ にどのように依存するか？

主な発見

• 空間 $ C_\theta([0,1], \mathbb{R}) $ 上でスケール $ N $ における最大固有値過程 $ (\lambda_1^{\theta,N}(t))_{t \in [0,1]} $ の分布は、良好なレート関数 $ I_\theta(\varphi) $ を持つ大偏差原理を満たす。
• 絶対連続な $ \varphi $ に対して $ \varphi(t) \geq 2\sqrt{t} $ を満たす場合、レート関数は $ I_\theta(\varphi) = \frac{1}{2} \int_0^1 \left( \dot{\varphi}(s) - \frac{1}{2s} \left( \varphi(s) - \sqrt{\varphi(s)^2 - 4s} \right) \right)^2 ds $ で与えられ、それ以外の場合は $ +\infty $ である。
• $ \theta = 2\sqrt{\eta} $ または $ 2\sqrt{\eta} < \theta < 1 + \eta $ かつ $ x \leq \frac{\theta + \sqrt{\theta^2 - 4\eta}}{2} + \frac{2}{\theta + \sqrt{\theta^2 - 4\eta}} $ の場合、レート関数は $ \int_2^x \sqrt{u^2 - 4} \, du $ をとる。これは、最適経路が壁 $ 2\sqrt{t} $ に接触していることを示している。
• $ \theta \geq 1 $ または $ 0 < \theta < 1 $ かつ $ x \geq \theta + \frac{1}{\theta} $ の場合、最適経路は線形：$ \varphi_*(t) = (x - \theta)t + \theta $ であり、レート関数は $ -\ln\left( \frac{x + \sqrt{x^2 - 4}}{2\theta} \right) + \frac{1}{4}x\sqrt{x^2 - 4} + \frac{1}{4}x^2 - \theta x + \frac{\theta^2}{2} + \frac{1}{2} $ に評価される。
• 動的LDPは、[BADG01]および[Maï07]の固定時刻LDPを縮約により回復し、従来の静的結果と整合性を確認する。
• 最適経路の構造は初期摂動 $ \theta $ に依存し、$ \theta $ が $ \eta $（経路の出発時刻）に対して大きい・小さいかに応じて異なる挙動を示す。