[論文レビュー] Large deviations for the largest eigenvalue of disordered bosons and disordered fermionic systems

Katrin Credner, Peter Eichelsbacher|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2015

Random Matrices and Applications参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、二体相互作用および非自明な重み関数を有するモデルにまで拡張された、無秩序なボソン系およびフェルミオン系における最大固有値の大偏差原理（LDP）を確立する。バイオルソゴナルおよび多重直交多項式アンサンブルを用いて、最大固有値が速度 $ n $ でLDPを満たすことを証明し、連続固有値密度および経験測度の漸近解析を通じてレート関数を導出する。これは、確率的行列理論の結果を、二体相互作用および非ガウス的極限を有するより広いクラスの無秩序系へと拡張するものである。

ABSTRACT

We prove a large deviations principle for the largest eigenvalue of a class of biorthogonal and multiple orthogonal polynomial ensembles that includes a matrix model of Lueck, Sommers and Zirnbauer for disordered bosons and Angelesco ensembles. Moreover we consider matrix ensembles in mesoscopic physics.

研究の動機と目的

• 二体相互作用を有する確率的行列アンサンブルでモデル化された、無秩序ボソン系における最大固有値の大偏差原理（LDP）を確立すること。
• 速度 $ n $ におけるLDPフレームワークを、$ n $-依存重み関数および一般の $ \beta > 0 $ の反発力を持つバイオルソゴナルおよび多重直交多項式アンサンブルへと拡張すること。
• メソスコピック確率的行列アンサンブル、特に古典的対称空間に由来するものも含めた、最大固有値の漸近的挙動を分析すること。
• 直交多項式のスペクトル漸近と経験測度の大偏差を組み合わせることで、LDPのレート関数を導出すること。
• ガウス・ユニタリアンサンブルおよびLueck-Sommers-Zirnbauerモデルに関する先行研究を、非ガウス的極限および非自明な相互作用を有するより広いクラスの無秩序系へ一般化すること。

提案手法

• 著者らは、$ w_n $ が $ n $ に依存する可能性がある、連続密度 $ q_n(x_1,\dots,x_n) \propto \prod_{i<j} |x_i - x_j| |x_i^\theta - x_j^\theta| \prod_i w_n(x_i) $ を持つ一般のバイオルソゴナルアンサンブルの枠組みを用いる。
• 経験測度 $ L_n = \frac{1}{n} \sum \delta_{x_i} $ に対する大偏差理論を適用し、$ \bar{L}_n $ が密度 $ \varrho_\infty $ を持つ極限測度 $ \mu_w $ に収束することを活用する。
• 重要なステップは、対数ポテンシャルおよび重み関数を含む関数 $ \Phi(t, \mu) $ の下界をとる変分公式を用いて、レート関数を導出することである。
• 最大固有値 $ \lambda_1 $ における条件付き確率の議論を用い、$ \lambda_1 \in [x,y] $ および残りの固有値が $ [-r,r] $ に有界である事象に分割する。
• 一様収束性 $ \log w_n \to \log w $ と $ \Phi $ の連続性を用いて、対数確率の下界および上界を確立し、速度 $ n $ におけるLDPを導出する。
• 特に有理数 $ \theta $ の場合に、Borodinのバイオルソゴナル多項式およびChristoffel-Darboux恒等式の結果を用いて、スペクトル測度および正規化定数を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ \tau = n $ の場合の、無秩序ボソン系におけるLueck-Sommers-Zirnbauerモデルにおける最大固有値の大偏差挙動は何か？
• RQ2 最大固有値のレート関数は、相互作用パラメータ $ \theta $ および重み関数 $ w_n $ にどのように依存するか？
• RQ3 $ n $-依存重み関数および一般の $ \beta > 0 $ の反発力を持つバイオルソゴナルアンサンブルに対し、大偏差原理を確立できるか？
• RQ4 このようなモデルにおける経験測度の漸近的構造およびその極限スペクトル密度との関係は何か？
• RQ5 結果は、多重直交多項式アンサンブルおよび対称空間に由来するメソスコピック確率的行列アンサンブルへどのように拡張できるか？

主な発見

• 最大固有値 $ \lambda_1^* $ は速度 $ n $ でLDPを満たし、レート関数は $ J(x) = \kappa \Phi(x, \mu_w) + \xi $ で与えられる。ここで $ \Phi $ は対数ポテンシャルを含む変分関数である。
• 整数 $ \alpha \in \mathbb{N}_0 $、$ \tau = n $ の無秩序ボソンモデルでは、極限スペクトル測度 $ \varrho_\infty $ の台は $ b = 3\sqrt{3} $ まで拡張され、$ \lambda_1^* \to 3\sqrt{3} $ 几乎確実に収束する。
• レート関数 $ J(x) $ は $ x \geq 3\sqrt{3} $ のみで有限であり、$ x < 3\sqrt{3} $ では発散する。これは、エッジより下の偏差が指数的に起こりにくことを示唆する。
• 適切な収束仮定の下で、$ \Phi(t, \mu) = \int \log|t - y| + \log|t^\theta - y^\theta| \, d\mu(y) + \log w(t) + \int \log w(y) \, d\mu(y) $ の下界をとることで、レート関数の明確な表現が得られる。
• 証明は $ \bar{L}_n \to \mu_w $ の収束および $ \Phi $ の連続性に依拠し、正規化定数 $ Z_n $ は $ \det g $ およびノルムの積 $ h_j $ に関連する。
• この枠組みは多重直交多項式アンサンブルおよびメソスコピック系へ適用可能であり、GOEおよびGUEに対する先行結果を、非ガウス的極限および非自明な相互作用を有するモデルへ一般化する。