[論文レビュー] Large deviations for the two-dimensional stochastic Navier-Stokes equation with vanishing noise correlation

Sandra Cerrai, Arnaud Debussche|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用数 28

ひとこと要約

本稿は、弱い収束法を用いて、ノイズ相関とノイズ強度が両方とも消える2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式に対して、大偏差原理（LDP）を確立する。$\delta(\epsilon) \to 0$ かつ $\sqrt{\epsilon} \to 0$ の下で、解は $C([0,T];H)$ またはベソフ空間 $\mathcal{B}^\sigma_p(D)$ においてLDPを満たすことが示され、作用関数が空間時間白色ノイズの極限に対応する標準形 $I_T(f) = \frac{1}{2}\int_0^T |f'(t) - Af(t) - b(f(t))|_H^2 dt$ に収束することが判明する。

ABSTRACT

We are dealing with the validity of a large deviation principle for the two-dimensional Navier-Stokes equation, with periodic boundary conditions, perturbed by a Gaussian random forcing. We are here interested in the regime where both the strength of the noise and its correlation are vanishing, on a length scale $\\e$ and $\\d(\\e)$, respectively, with $0<\\e,\\ \\d(\\e)<<1$. Depending on the relationship between $\\e$ and $\\d(\\e)$ we will prove the validity of the large deviation principle in different functional spaces.

研究の動機と目的

• 弱い、空間的に相関のあるノイズの下で2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式の大偏差挙動を分析すること。
• ノイズ強度 $\sqrt{\epsilon}$ と相関長 $\delta(\epsilon)$ が $\epsilon \to 0$ の下で両方とも消える極限的状態を調査すること。
• $\epsilon$ と $\delta(\epsilon)$ の間の異なるスケーリング関係に対応する関数空間で、大偏差原理が成立する空間を特定すること。
• 空間時間白色ノイズに対応する標準形の期待される作用関数と一致する、極限作用関数が得られることを示すこと。これはノイズが白色でないにもかかわらず成立する。

提案手法

• SPDEの大偏差原理における弱収束法を、[6] で形式化されたものに従い、解族 $\{u_{\epsilon,\delta(\epsilon)}\}_{\epsilon>0}$ に対してLDPを導出する。
• ノイズを $\sqrt{\epsilon} \partial_t \xi^\delta$ とモデル化し、$\xi^\delta$ は空間的に滑らかなガウス過程で、相関スケールが $\delta(\epsilon)$ である。
• 解写像の連続性と縮約原理を用いて、ノイズ空間からのLDPを解空間へと転送する。
• 条件 $\epsilon \delta(\epsilon)^{-\eta} \to 0$（$\eta > 0$）の下で、作用関数 $I_T^\delta(f)$ が標準形 $I_T(f)$ に収束することを分析する。
• 特に $\sigma < 0$ の $H^\sigma(D)$ のようなベソフおよびソボレフ型空間を用いて、ノイズと解の経路の正則性を制御するための確率的計算を用いる。
• 正規化された乱雑項の収束と、$L^\kappa(\mathcal{H}, \mu; [H^\sigma(D)]^4)$ 内での $h_\delta \otimes h_\delta - \vartheta_\delta I$ の極限を用いて、極限作用関数の正当性を裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのスケーリングのもとで、2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式の解は $C([0,T];H)$ で大偏差原理を満たすか？
• RQ2 相関長 $\delta(\epsilon) \to 0$ の下で、解の極限作用関数が $I_T(f) = \frac{1}{2}\int_0^T |f'(t) - Af(t) - b(f(t))|_H^2 dt$ の標準形に収束するか？
• RQ3 相関長 $\delta(\epsilon)$ が $\epsilon^{\eta}$ よりも遅く減少する場合、大偏差原理がどの関数空間で成立するか？
• RQ4 ノイズが空間時間白色でない場合でも、ノイズ相関と強度が両方とも消える領域において、弱収束法を用いてLDPを導出できるか？
• RQ5 正規化されたノイズの2次変動が作用関数の収束に果たす役割は何か？

主な発見

• 任意の $\eta > 0$ に対して $\epsilon \delta(\epsilon)^{-\eta} \to 0$ を満たすとき、族 $\{u_{\epsilon,\delta(\epsilon)}\}_{\epsilon>0}$ は $C([0,T];H)$ で大偏差原理を満たし、レートは $\epsilon$、作用関数は $I_T(f)$ である。
• $\delta(\epsilon)$ が $\epsilon^{\eta}$ よりも遅く減少する領域では、LDPは $\sigma < 0$ および $p \geq 2$ のベソフ空間 $C([0,T];\mathcal{B}^\sigma_p(D))$ で成立し、同じ極限作用関数 $I_T(f)$ を持つ。
• 極限作用関数 $I_T(f)$ は、ノイズが空間的に白色でないにもかかわらず、空間時間白色ノイズの極限に対応する標準形と一致する。
• ノイズ共分散作用素 $Q_\delta$ が強作用素位相で恒等作用素に収束することにより、作用関数 $I_T^\delta$ が点ごとに $I_T$ に収束することが保証される。
• 正規化されたノイズ項 $h_\delta \otimes h_\delta - \vartheta_\delta I$ は $\sigma < 0$ に対して $L^\kappa(\mathcal{H}, \mu; [H^\sigma(D)]^4)$ 内で収束する。これは極限作用関数の正当性を裏付ける。
• 解写像は $C([0,T];\mathcal{B}^\sigma_p(D))$ の位相で連続であり、これにより縮約原理を適用して、この空間におけるLDPを導出可能である。