[論文レビュー] Large deviations in Selberg's central limit theorem

Maksym Radziwiłł|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、リーマンゼータ関数の臨界線上におけるセルバーグの中心極限定理を、log|ζ(1/2 + it)| の分布に対する大偏差漸近挙動の確立によって拡張している。具体的には、Δ ≪ (log log T)^{1/10−ε} の範囲までガウス型尾部近似が成り立つことを証明しており、以前の Δ ≪ (log log log T)^{1/2−ε} の範囲を著しく超える。この手法は、長めのディリクレ多項式の新しい解析と、まれな大きな値を制御するための制限付き測度のアプローチに依拠しており、数論におけるモーメント予想や値分布理論への応用を有する。

ABSTRACT

Following Selberg it is known that uniformly for V << (logloglog T)^{1/2 - ε} the measure of those t \in [T;2T] for which log |ζ(1/2 + it)| > V*((1/2)loglog T)^{1/2} is approximately T times the probability that a standard Gaussian random variable takes on values greater than V. We extend the range of V to V << (loglog T)^{1/10 - ε}. We also speculate on the size of the largest V for which this normal approximation can hold and on the correct approximation beyond that point.

研究の動機と目的

• log|ζ(1/2 + it)| に対するセルバーグの中心極限定理の有効範囲を、以前の Δ ≪ (log log log T)^{1/2−ε} の範囲を超えて拡張すること。
• log|ζ(1/2 + it)| が大きな閾値 Δ√(1/2 log log T) を超える t ∈ [T, 2T] の測度の漸近的挙動を調査すること。
• ガウス型尾部近似が失敗する点を特定し、その先での正しい漸近形を予想すること。
• ゼータ関数やその他の L 関数の値分布、整数上の加法的関数に対し、モーメント情報のみを用いて一般化可能な手法を開発すること。
• Δ ≫ √log log T のときガウス近似が失敗することと、ζ(s) のモーメント予想（特に k ∈ (0,1) に対して C_k ≠ 1）との関連を明らかにすること。

提案手法

• x = T^{1/(log log T)^2} とおくとき、長めのディリクレ多項式 ∑_{p≤x} p^{−1/2−it} の実部の分布に問題を還元すること。
• ディリクレ多項式が大きな値をとらないような制限付き集合 A ⊂ [T, 2T] を導入し、A を除いた誤差が無視可能であることを保証すること。
• 生成関数 ∏_{p≤x} I_0(z/√p) を用いてディリクレ多項式のモーメント母関数を表現し、複素解析を用いてラプラス変換を逆転すること。
• 大値の測度を表現するための切り捨てられたペロン型積分公式を適用し、ベッセル関数積の減衰推定により誤差を制御すること。
• 平方完成の技法と解析接続を用いて主要項を抽出し、それがガウス型尾部に比例することを示すこと。
• 主要項がモーメント母関数の解析的部 F(z) の F(c) に依存することを用い、Δ ∼ k√(log log T) のとき T → ∞ で F(c) → F(k) となることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 T → ∞ のとき Δ → ∞ となる大偏差領域において、log|ζ(1/2 + it)| に対するセルバーグの中心極限定理はどの程度拡張可能か？
• RQ2 ガウス型尾部近似 ∫_Δ^∞ e^{−u²/2} du / √(2π) が、大値の測度に対して有効である最大の Δ は何か？
• RQ3 Δ ∼ k√(log log T) （k > 0 を固定）のとき、測度の漸近的挙動はどのように変化し、ガウス型尾部に比例し続けるか？
• RQ4 モーメント母関数ではなく、モーメント情報のみが入手可能な場合に、この手法を他の L 関数や加法的数論的関数へ一般化できるか？
• RQ5 Δ ≫ √log log T のときガウス近似が失敗することは、∫_T^{2T} |ζ(1/2 + it)|^{2k} dt ∼ C_k T (log T)^{k²} という予想されるモーメント公式と矛盾するか？

主な発見

• log|ζ(1/2 + it)| の大値の測度に対する漸近公式は、Δ ≪ (log log T)^{1/10−ε} の範囲で一様に成り立ち、セルバーグの元々の結果を (log log log T)^{1/2−ε} の範囲を著しく超えて拡張している。
• Δ ∼ k√(log log T) （k > 0 を固定）のとき、測度はガウス型尾部の c_k 倍に漸近的に比例し、0 < c_k ≠ 1 であるため、標準的なガウス型形とは異なる。
• この手法は、ディリクレ多項式 ∑_{p≤x} p^{−1/2−it} が有界である密度 1 − o(1) の集合 A ⊂ [T, 2T] を用い、モーメント母関数による尾部の制御を可能としている。
• 主結果の証明の根幹は、∏_{p≤x} I_0(z/√p) の新しい推定であり、|Im z| が √x よりも著しく大きいときの急速な減衰を示している。
• 漸近展開における誤差項は O(e^{−c(log log T)^{1/2}}) であり、Δ ≤ (log log T)^{1/16 + δ/4 − ε} （δ = 3/20）の間は無視可能であり、Δ ≪ (log log T)^{1/10−ε} を得る。
• ガウス近似が Δ = o(√log log T) の範囲で成り立つという予想は、この結果によって支持され、Δ ≫ √log log T のときの失敗は、k ∈ (0,1) に対して C_k ≠ 1 であるモーメント定数の非自明性と関連している。