[論文レビュー] Large deviations of convex hulls of planar random walks

Arseniy Akopyan, Vladislav Vysotsky|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2016

Point processes and geometric inequalities参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、増分のラプラス変換が有限である平面ランダムウォークの凸包の周図および面積について、大偏差原理を確立する。周図および面積の明示的レート関数を導出し、回転対称性またはガウス的増分の場合、最適な軌道が線分（周図）または半円（面積）に一致するが、ドリフト付きガウス的ウォークでは、共分散構造に応じて楕円的または放物的弧が最適な形状となることを示している。

ABSTRACT

We prove large deviations principles for the perimeter and the area of the convex hull of a planar random walk with finite Laplace transform of its increments. We give explicit upper and lower bounds for the rate function of the perimeter in terms of the rate function of the increments. These bounds coincide, hence giving the rate function, for a wide class of distributions which includes the Gaussians and the rotationally invariant ones. For random walks with such increments, large deviations of the perimeter of the convex hull are attained by the trajectories that asymptotically align into line segments but in general, line segments may not be optimal. Furthermore, we find explicitly the rate function of the area of the convex hull for random walks with rotationally invariant distribution of increments. For such walks, which necessarily have zero mean, large deviations of the area are attained by the trajectories that asymptotically align into half-circles. For random walks with non-zero mean increments, we found the rate function of the area for Gaussian walks with drift. Here the optimal limit shapes are elliptic arcs if the covariance matrix of increments is non-degenerate and parabolic arcs if otherwise.

研究の動機と目的

• 平面ランダムウォークの凸包の周図および面積についての大偏差原理を確立すること。
• 増分分布に一般な条件下で、これらの汎関数のレート関数を特徴づけること。
• 周図および面積の大偏差を実現する最適な軌道形状を同定すること。
• ガウス的および回転対称的増分を含む特別な場合におけるレート関数の明示的表現を特定すること。
• 最適形状が増分の平均および共分散にどのように依存するかを分析すること。

提案手法

• 増分のラプラス変換が有限である平面ランダムウォークの凸包に大偏差理論を適用する。
• 周図のレート関数は、増分分布のレート関数を用いて上界および下界で抑えられ、回転対称的およびガウス的増分では等号が成立する。
• 面積に関しては、対称性およびモーメント母関数の技法を用いて明示的レート関数を導出し、特に回転対称的およびドリフト付きガウス的ウォークにおいて有効である。
• 変分原理を用いて最適な軌道を同定し、大偏差が漸近的に線分、半円、または楕円的／放物的弧に一致する経路によって実現されることを示している。
• ゼロ平均と非ゼロ平均の増分を区別し、それぞれ異なる最適形状が得られることを示している。
• 凸包の性質および極端な偏差下でのランダムウォーク経路の幾何学的性質を活用して導出を行っている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 増分のラプラス変換が有限である平面ランダムウォークの凸包の周図について、レート関数は何か？
• RQ2 周図の大偏差を実現する最適な軌道は、増分の分布にどのように依存するか？
• RQ3 回転対称的増分の場合、凸包の面積のレート関数は何か？
• RQ4 増分に非ゼロ平均および非退化共分散がある場合、面積の大偏差に対する最適形状はどのように変化するか？
• RQ5 線分、半円、または楕円的／放物的弧が、凸包汎関数の最適極限形状として現れる条件は何か？

主な発見

• 回転対称的またはガウス的増分を有するランダムウォークでは、周図のレート関数が、増分分布のレート関数に基づく上界および下界を一致させることで明示的に決定される。
• 周図の大偏差を実現する最適な軌道は、漸近的に線分に一致するが、一般には常に最適ではない。
• ゼロ平均、回転対称的増分の下で、面積のレート関数は明示的に計算され、最適な軌道は半円に一致する。
• ドリフト付きガウス的ウォークおよび非退化共分散の下で、面積の大偏差に対する最適形状は楕円弧である。
• 増分の共分散行列が退化している場合、面積の偏差に対する最適形状は放物的弧となる。
• 結果として、周図および面積についての大偏差が完全に特徴づけられ、形状の最適性は増分の平均および2次構造に依存することが示された。